10.1相交线讲解与例题

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1、10.1　相交线1．认识什么是相交线，理解对顶角、邻补角的概念，知道对顶角相等并能应用．2．认识垂直是相交的一种特殊情况，理解过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，知道垂线段最短，并能应用．3．会过一点作已知直线(线段)的垂线．1．对顶角(1)对顶角的概念两条直线相交时，可以形成四个角：如图，∠1，∠2，∠3，∠4.∠1和∠2有公共顶点O，并且它们的两边分别互为反向延长线，我们把这样两个具有特殊位置的角叫做对顶角．即一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角是对顶角．如图中的∠1和∠2，∠3和∠4是对顶角．(2)对顶角的特征两个角有公共顶点；两个角的边分别互为反

2、向延长线，因此，只有两条直线相交才能产生对顶角．两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角是对顶角．(3)对顶角的性质对顶角相等．【例1－1】下列图形中∠1与∠2是对顶角的是(　　)．解析：选项A，两边不互为反向延长线，不是对顶角；选项B，两角没有公共顶点，不是对顶角；选项C，两角没有公共顶点，不是对顶角；选项D，两角有公共顶点，两边分别互为反向延长线，是对顶角．答案：D(1)判断两个角是否是对顶角，要看两个角是否是两条直线相交所得到的，还要看这两个角是不是有公共顶点．(2)对顶角是成对的．两条直线相交所构成的四个角中，共有两对对顶角．【例1－2】已知∠α

3、与∠β的和是200°，∠α与∠β是对顶角，则∠α＝__________.解析：设∠α＝x°，根据对顶角相等，则∠β＝x°，根据题意，得∠α＋∠β＝200°，即2x＝200，解得x＝100，即∠α＝100°.答案：100°2．垂线(1)垂线的概念如图，当两条直线AB和CD相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作“AB⊥CD”，读作“AB垂直于CD”，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点O叫做垂足．垂线的三要素：两条直线；相交；一个角是直角．(1)线段与线段、线段与射线、射线与射线、线段或射线与直线垂直，特指它们所在的直线互相垂直．(2)两条

4、直线互相垂直，则四个角为直角．反之也成立．(2)垂线的性质过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．其中的“有且只有”包含两层含义：“有”即存在一条与已知直线垂直的直线；“只有”是说与已知直线垂直的直线是唯一的．即说的是垂线的存在性和唯一性．【例2－1】若∠A与∠B是对顶角且互补，则它们两边所在的直线(　　)．A．互相垂直B．互相平行C．既不垂直也不平行D．不能确定解析：∠A与∠B是对顶角且互补，根据对顶角的性质，可判断这两个角相等，且都为90°，因此它们两边所在的直线互相垂直．答案：A【例2－2】如图，AB⊥CD于点B，BE是∠ABD的平分线，则∠CBE的度数为_______

5、___．解析：因为AB⊥CD，所以∠ABD＝∠ABC＝90°.因为BE是∠ABD的平分线，所以∠ABE＝×90°＝45°，即∠CBE＝90°＋45°＝135°.答案：135°3．垂线段(1)垂线段的定义垂线段是指连接直线外一点与垂足形成的线段．如图，设点P是直线外一点，PA，PB，PC，PO都和直线l相交，其中PO⊥l，垂足为O，则线段PO就是点P到直线l的垂线段，可见直线外一点到这条直线的垂线段只有一条，其余的PA，PB，PC，…都是斜线段，斜线段有无数条．(2)垂线段的性质在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短．简单的记为“垂线段最短”．(3)点到直线的距离直

6、线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．上图中线段PO的长度叫点P到直线l的距离．垂线是直线；垂线段特指一条线段，都是图形；点到直线的距离是指垂线段的长度，是一个数量，是有单位的．【例3－1】如图所示，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，则下列结论：①AB与AC互相垂直；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥线段AB是点B到AC的距离．其中正确的有(　　)．A．2个B．3个C．4个D．5个解析：根据垂直的特征：交角为直角，可得①正确，②错误．C点到AB的垂线段应是AC，故③

7、错误．点A到BC的距离是指线段AD的长度，故④错误．⑤符合定义，正确，故⑥错误．答案：A【例3－2】教师请三名同学测量一名同学的跳远成绩(落地点与起跳线间的距离)，因测量的方法不同，报给教师的成绩是：1.8m,2m，2.4m，则该同学跳远的准确成绩应是(　　)．A．1.8mB．小于1.8mC．不大于1.8mD．2m解析：因为由落地点到起跳线(直线)的距离是该同学的成绩，根据“垂线段最短”，而2.4＞2＞1.8，故该同学落地点到起跳线的距离应小于或等于(即不大于)1.8m，应选C．答案：C4．画垂线(1)用量角器画垂