概率论与数理统计复习提纲

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1、第一章随机事件及其概率一、随机事件及其运算1.样本空间、随机事件①样本点:随机试验的每一个可能结果,用表示;②样本空间:样本点的全集,用表示;注:样本空间不唯一.③随机事件:样本点的某个集合或样本空间的某个子集,用A,B,C,…表示;④必然事件就等于样本空间;不可能事件是不包含任何样本点的空集;⑤基本事件就是仅包含单个样本点的子集。2.事件的四种关系①包含关系:,事件A发生必有事件B发生;②等价关系:,事件A发生必有事件B发生,且事件B发生必有事件A发生;③互不相容(互斥):,事件A与事件B一定不会同时发生。④对立关系

2、(互逆):,事件发生事件A必不发生,反之也成立;互逆满足注:互不相容和对立的关系(对立事件一定是互不相容事件,但互不相容事件不一定是对立事件。)3.事件的三大运算①事件的并:,事件A与事件B至少有一个发生。若,则;②事件的交:,事件A与事件B都发生;③事件的差:,事件A发生且事件B不发生。4.事件的运算规律①交换律:②结合律:③分配律:④德摩根(DeMorgan)定律:对于n个事件,有二、随机事件的概率定义和性质1.公理化定义:设试验的样本空间为,对于任一随机事件都有确定的实值P(A),满足下列性质:(1)非负性:(2

3、)规范性:(3)有限可加性(概率加法公式):对于k个互不相容事件,有.则称P(A)为随机事件A的概率.2.概率的性质11①②③若,则④注:性质的逆命题不一定成立的.如若则。(×)若,则。(×)三、古典概型的概率计算古典概型:若随机试验满足两个条件:①只有有限个样本点,②每个样本点发生的概率相同,则称该概率模型为古典概型,。典型例题:设一批产品共N件,其中有M件次品,从这批产品中随机抽取n件样品,则(1)在放回抽样的方式下,取出的n件样品中恰好有m件次品(不妨设事件A1)的概率为(2)在不放回抽样的方式下,取出的n件样品

4、中恰好有m件次品(不妨设事件A2)的概率为四、条件概率及其三大公式1.条件概率:2.乘法公式:3.全概率公式:若,则。4.贝叶斯公式:若事件如全概率公式所述,且.五、事件的独立1.定义:.推广:若相互独立,2.在四对事件中,只要有一对独立,则其余三对也独立。3.三个事件A,B,C两两独立:11注:n个事件的两两独立与相互独立的区别。(相互独立两两独立,反之不成立。)4.伯努利概型:1.事件的对立与互不相容是等价的。(X)2.若则。(X)3.。(X)4.A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为。(∨)5.n个事件若满足,则

5、n个事件相互独立。(X)6.当时,有P(B-A)=P(B)-P(A)。(∨)第二章随机变量及其分布一、随机变量的定义:设样本空间为,变量为定义在上的单值实值函数,则称为随机变量,通常用大写英文字母,用小写英文字母表示其取值。二、分布函数及其性质1.定义:设随机变量,对于任意实数,函数称为随机变量的概率分布函数,简称分布函数。注:当时,(1)X是离散随机变量,并有概率函数则有(2)X连续随机变量,并有概率密度f(x),则.2.分布函数性质:(1F(x)是单调非减函数,即对于任意x1

6、,F(x)是右连续函数,即;连续随机变量X,F(x)在(-∞,+∞)上处处连续。注:一个函数若满足上述3个条件,则它必是某个随机变量的分布函数。三、离散随机变量及其分布1.定义.设随机变量X只能取得有限个数值,或可列无穷多个数值且,则称X为离散随机变量,pi(i=1,2,…)为X的概率分布,或概率函数(分布律).注:概率函数pi的性质:2.几种常见的离散随机变量的分布:11(1)超几何分布,X~H(N,M,n),(2)二项分布,X~B(n.,p),当n=1时称X服从参数为p的两点分布(或0-1分布)。若Xi(i=1,2

7、,…,n)服从同一两点分布且独立,则服从二项分布。(3)泊松(Poisson)分布,,四、连续随机变量及其分布1.定义.若随机变量X的取值范围是某个实数区间I,且存在非负函数f(x),使得对于任意区间,有则称X为连续随机变量;函数f(x)称为连续随机变量X的概率密度函数,简称概率密度。注1:连续随机变量X任取某一确定值的概率等于0,即注2:2.概率密度f(x)的性质:性质1:性质2:注1:一个函数若满足上述2个条件,则它必是某个随机变量的概率密度函数。注2:当时,且在f(x)的连续点x处,有3.几种常见的连续随机变量的

8、分布:(1)均匀分布,(2)指数分布,(3)正态分布,1.概率函数与密度函数是同一个概念。(X)2.当N充分大时,超几何分布H(n,M,N)可近似成泊松分布。(X)3.设X是随机变量,有。(X)4.若的密度函数为=,则(X)11第三章随机变量的数字特征一、期望(或均值)1.定义:2.期望的性质:3.随机变量函数的数学期望4.计算数

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