概率论与数理统计复习提纲

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1、第一章随机事件及其概率一、随机事件及其运算1.样本空间、随机事件①样本点：随机试验的每一个可能结果，用表示；②样本空间：样本点的全集，用表示；注：样本空间不唯一.③随机事件：样本点的某个集合或样本空间的某个子集，用A,B,C,…表示；④必然事件就等于样本空间；不可能事件是不包含任何样本点的空集；⑤基本事件就是仅包含单个样本点的子集。2.事件的四种关系①包含关系：，事件A发生必有事件B发生；②等价关系：，事件A发生必有事件B发生，且事件B发生必有事件A发生；③互不相容（互斥）：，事件A与事件B一定不会同时发生。④对立关系

2、（互逆）：，事件发生事件A必不发生，反之也成立；互逆满足注：互不相容和对立的关系（对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件。）3.事件的三大运算①事件的并：，事件A与事件B至少有一个发生。若，则；②事件的交：，事件A与事件B都发生；③事件的差：，事件A发生且事件B不发生。4.事件的运算规律①交换律：②结合律：③分配律：④德摩根（DeMorgan）定律：对于n个事件，有二、随机事件的概率定义和性质1．公理化定义：设试验的样本空间为，对于任一随机事件都有确定的实值P(A)，满足下列性质：(1)非负性：(2

3、)规范性：(3)有限可加性(概率加法公式)：对于k个互不相容事件，有.则称P(A)为随机事件A的概率.2．概率的性质11①②③若，则④注：性质的逆命题不一定成立的.如若则。（×）若，则。（×）三、古典概型的概率计算古典概型：若随机试验满足两个条件：①只有有限个样本点,②每个样本点发生的概率相同，则称该概率模型为古典概型,。典型例题：设一批产品共N件，其中有M件次品，从这批产品中随机抽取n件样品，则(1)在放回抽样的方式下,取出的n件样品中恰好有m件次品（不妨设事件A1）的概率为(2)在不放回抽样的方式下,取出的n件样品

4、中恰好有m件次品（不妨设事件A2）的概率为四、条件概率及其三大公式1.条件概率：2.乘法公式：3.全概率公式：若，则。4.贝叶斯公式：若事件如全概率公式所述，且.五、事件的独立1.定义：.推广：若相互独立，2.在四对事件中，只要有一对独立，则其余三对也独立。3.三个事件A,B,C两两独立：11注：n个事件的两两独立与相互独立的区别。（相互独立两两独立，反之不成立。）4.伯努利概型：1.事件的对立与互不相容是等价的。（X）2.若则。（X）3.。(X)4.A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为。(∨)5.n个事件若满足，则

5、n个事件相互独立。(X)6.当时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。（∨）第二章随机变量及其分布一、随机变量的定义：设样本空间为，变量为定义在上的单值实值函数，则称为随机变量，通常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。二、分布函数及其性质1.定义：设随机变量，对于任意实数，函数称为随机变量的概率分布函数，简称分布函数。注：当时，(1)X是离散随机变量，并有概率函数则有(2)X连续随机变量，并有概率密度f(x)，则.2.分布函数性质：（1F(x)是单调非减函数，即对于任意x1

6、，F(x)是右连续函数,即；连续随机变量X，F(x)在（-∞，+∞）上处处连续。注：一个函数若满足上述3个条件，则它必是某个随机变量的分布函数。三、离散随机变量及其分布1.定义.设随机变量X只能取得有限个数值，或可列无穷多个数值且，则称X为离散随机变量,pi(i=1,2,…)为X的概率分布，或概率函数(分布律).注：概率函数pi的性质:2.几种常见的离散随机变量的分布：11（1）超几何分布，X~H(N,M,n)，（2）二项分布，X~B(n.,p)，当n=1时称X服从参数为p的两点分布（或0－1分布）。若Xi(i=1,2

7、,…,n)服从同一两点分布且独立，则服从二项分布。（3）泊松(Poisson)分布，，四、连续随机变量及其分布1.定义.若随机变量X的取值范围是某个实数区间I，且存在非负函数f(x)，使得对于任意区间，有则称X为连续随机变量;函数f(x)称为连续随机变量X的概率密度函数，简称概率密度。注1：连续随机变量X任取某一确定值的概率等于0,即注2：2.概率密度f(x)的性质：性质1：性质2：注1：一个函数若满足上述2个条件，则它必是某个随机变量的概率密度函数。注2：当时，且在f(x)的连续点x处，有3.几种常见的连续随机变量的

8、分布：(1)均匀分布，(2)指数分布,(3)正态分布，1.概率函数与密度函数是同一个概念。（X）2.当N充分大时，超几何分布H(n,M,N)可近似成泊松分布。(X)3.设X是随机变量，有。(X)4.若的密度函数为=，则(X)11第三章随机变量的数字特征一、期望（或均值）1．定义：2．期望的性质：3.随机变量函数的数学期望4.计算数