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1、概率论与数理统计复习提纲一，事件的运算如果A，B，C为三事件，则A+B+C为至少一次发生,为至少一次不发生,AB+BC+AC和都是至少两次发生,为恰有两次发生.为恰有一次发生,等等,要善于将语言翻译成事件运算公式以及将公式翻译成语言..二,加法法则与乘法法则如A与B互不相容,则P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)P(B
2、A)而对于任给的A与B有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)(1)因此,P(A+B),P(A),P(B),P(AB)这四个概率只要知道三个,剩下一个就能够求出来.而P(AB)=P(A)P(B
3、A),因此P(A+B),P(A),P(B),P(B
4、A)只
5、要知道三个,剩下的一个就能够求出来.也是常用式子三,全概率公式和贝叶斯公式设A1,A2,…,构成完备事件组,则任给事件B有(全概率公式),及(贝叶斯公式)其中,最常用的完备事件组,就是一个事件A与它的逆,即任给事件A,B有通常是将试验想象为分为两步做,第一步的结果将导致A或者之一发生,而这将影响到第二步的结果的事件B是否发生的概率.如果是已知第一步的各事件概率及第一步各事件发生条件下第二步事件B发生的概率,并要求B发生的概率,就用全概率公式.而如果是要求在第二步事件B已经发生条件下第一步各事件的概率,就用贝叶斯公式.四,随机变量及分布1.离散型随机变量一元:P(ξ=xk)=pk(k=1,2
6、,…),性质:二元:P{ξ=xk,η=yj)=pij(i,j=1,2,…)边缘分布与联合分布的关系:2.连续型随机变量25,,性质:分布函数为,且有如ξ~φ(x),η=f(ξ),则求η的概率密度函数的办法,是先求η的分布函数Fη(x),,然后对Fη(x)求导即得η的概率密度函数.五,随机变量的数字特征数学期望:离散型:连续型:性质:E(x+h)=Ex+Eh,E(x-h)=Ex-Eh方差:离散型:先计算,则连续型:先计算则性质:如x,h相互独立,则D(x+h)=Dx+Dh,D(x-h)=Dx+Dh协方差和相关系数:计算两个随机变量x和h的协方差cov(x,h)和相关系数r的关键是计算E(xh
7、),离散型:则cov(x,h)=E(xh)-E(x)E(h)六,几种常用的分布二项分布ξ~B(n,p)是指.它描述了贝努里独立试验概型中,事件A发生k次的概率.试验可以同时进行,也可以依次进行.超几何分布将N个元素分为N1个和N2个两类,N1+N2=N,从中任取n个,其中N1个元素的个数是一随机变量x,服从超几何分布,且有25普阿松分布x服从普阿松分布,是指其概率函数为正态分布x服从正态分布,即x~,记作x~N(m,s2).x服从标准正态分布x~N(0,1)性质:如果x~N(0,1),则ax+b~N(b,a2)指数分布x服从指数分布,即它的分布函数为七,统计量假设x是总体,Ex=m,Dx=
8、s2,而(X1,…,Xn)是取自总体x的样本,则EXi=m,DXi=s2(i=1,…,n)样本均值,样本方差样本标准差八、典型例题习题一1．为了防止意外，在矿内同时设有两种警报系统和，每种系统单独使用时，其有效概率为，为，在失灵条件下，有效的概率为，求：⑴发生意外时，这两种报警系统至少有一个有效的概率？⑵失灵条件下，有效的概率？[解答]⑴由题意可得即得则⑵由题意可得25 2．三个箱子，第一个箱子中有个黑球个白球，第二个箱子中有个黑球个白球，第三个箱子有个黑球个白球，现在随机的取一个箱子，在从这个箱子中取一个球，问；⑴这个球是白球的概率？⑵已知取出的球为白球，此球属于第二个箱子的
9、概率？[解答]设﹛从第个箱子中取到白球﹜﹛取到白球﹜⑴由全概率公式可得⑵由贝叶斯公式可得3．假使有两箱同种零件：第一箱内装件，第二箱内装件，其中件一等品，现在从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取回的零件不放回），求：⑴先取的零件是一等品的概率？⑵在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的条件概率？[解答]设﹛被挑出的是第箱﹜﹛第次取出的零件是一等品﹜则，,⑴⑵由全概率公式可得4．袋中有个球，其中有个是新的，第一次比赛时从中任取个用，比赛结束后仍放回袋中，第二次比赛再从袋中任取个，求：⑴第二次取出的球都是新球的概率？⑵又已知第二次取出的球都是新球，第一
10、次取到的都是新球的概率？[解答]设﹛第次取到新球﹜25﹛第二次取到新球﹜⑴⑵5．设甲乙两袋，甲袋中装有个白球，个红球，乙袋中装有个白球，个红球，现在从甲袋中任取一只放入乙袋，再从乙袋中任取一球，问取到白球的概率？[解答]设﹛从甲袋中取到白球﹜﹛从甲袋中取到红球﹜﹛从乙袋中取到白球﹜则 6．设有来自三个地区的各名，名和名考生的报名表，其中女生的报名表分别为份，份和份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份，⑴求先抽到的
