3.函数奇偶性及周期性

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1、第三讲：函数的奇偶性、周期性一.奇偶性1.定义：若函数定义域关于原点对称，则对于定义域内的任意x，都有f(x)－f(-x)=0成立f(x)=f(-x)f(x)为偶函数；f对于定义域内的任意x，都有(x)+f(-x)=0成立f(x)=－f(-x)f(x)为奇函数。2.判别方法：定义法，　图像法　，复合函数法3.性质：（0）f(x)与－f(x)有相同的奇偶性；有相同的奇偶性；奇奇＝奇；偶偶＝偶；奇奇＝偶；偶偶＝偶；若f(x)是偶函数，则只要ｇ(x)具有奇偶性，f(ｇ(x))都是偶函数；若ｇ(x)是偶函数，则不论f(x)有没有奇偶性，f(ｇ(x))

2、都是偶函数；若f(x)和ｇ(x)都是奇函数，则f(ｇ(x))是奇函数；⑴奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称；⑵若奇函数f(x)在x=0时有意义，则f(0)=0,；⑶奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数相反；⑷若奇函数在区间（a，b）上的值域为（m，M），则其在（-b，-a）上的值域必为（-M,-m）；若偶函数奇函数在区间（a，b）上的值域为（m，M），则其在（-b，-a）上的值域也为（m，M）；⑸若奇函数在区间（a，b）上的最大值为M，则其在（-b，-a）上的最小值必为-M；若偶函数奇函数在区间（a，b）上的最大值为M，则其

3、在（-b，-a）上的最大值也为M；⑹奇函数（偶函数）在对称区间上的零点的个数相同。二.周期性1.定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)＝f(x),则T为函数f(x)的周期。其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)＝f(x－a),则2a为函数f(x)的周期.2.性质：⑴若对任意的x，f(x)＝－f(x＋ａ)（ａ＞０），则Ｔ＝2ａ；若对任意的x，，则Ｔ＝2ａ；4⑵若对任意的x，则Ｔ＝4ａ；⑶若f(x)的图像关于x＝ａ和ｘ＝ｂ对称，则Ｔ＝2；若f(x)的图像关于（a，0）和（b，0）对称，则Ｔ＝2；⑷若f(x)的图

4、像关于x＝ａ和（b，0）对称，则Ｔ＝4。三.函数图像的对称性问题：定理1若对于任意x都有f（ａ－ｘ）＝ｆ（ｂ＋x），则函数f（x）的图像关于直线x＝对称。特别的，若对于任意x都有f（ａ－ｘ）＝ｆ（ａ＋x）（或者f（ｘ）＝ｆ（2ａ－x）），则函数f（x）的图像关于直线x＝对称。定理2若若对于任意x都有f（ａ－ｘ）+ｆ（a＋x）＝2b（或者，则函数f（x）的图像关于点对称。特别的，若对于任意x都有f（ａ－ｘ）+ｆ（ａ＋x）＝2b（或者f（2ａ－ｘ）+ｆ（x）＝2b），则函数f（x）的图像关于点对称。五.练习:1．判断下列函数的奇偶性：（1）函数定

5、义域为R，，∴f(x)为偶函数；（另解）先化简：，显然为偶函数；从这可以看出，化简后再解决要容易得多.（2）须要分两段讨论：4①设②设③当x=0时f(x)=0，也满足f(－x)=－f(x)；由①、②、③知，对x∈R有f(－x)=－f(x)，∴f(x)为奇函数；（3），∴函数的定义域为，∴f(x)=log21=0(x=±1)，即f(x)的图象由两个点A（－1，0）与B（1，0）组成，这两点既关于y轴对称，又关于原点对称，∴f(x)既是奇函数，又是偶函数；2.函数是(D)A．奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数3.已知是偶函数

6、，定义域为.则_，04.若是奇函数，则．解析解法15.设函数是奇函数.若,则.-36.已知函数是定义在上的偶函数.当时，，则当时，-x-x4.7.已知函数为上的奇函数，当时，.若，则实数.8.若函数，则下列结论正确的是（）A.，在上是增函数B.，在上是减函数C.，是偶函数D.，是奇函数9已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x取值范围是(A)（A）（，）B.［，）C.（，）D.［，）10.已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当4时，，则的值为（C）A．　　　B．　　　C．　　　　D．11.已知定义域为R的函数在区间上为减函数，且函数为偶函数，

7、则（D）A.B.C.D.12.函数对于任意实数满足条件，若则_______-___。13.定义在上的函数是奇函数又是以为周期的周期函数,则等于(B)A.-1B.0C.1D.414.设f(x)是定义在R上的函数，且在(-∞，+∞)上是增函数，又F(x)=f(x)-f(-x)，那么F(x)一定是(A)A.奇函数，且在(-∞，+∞)上是增函数B.奇函数，且在(-∞，+∞)上是减函数C.偶函数，且在(-∞，+∞)上是增函数D.偶函数，且在(-∞，+∞)上是减函数4