高考复习：函数的奇偶性及周期性

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1、函数的奇偶性及周期性课前考点引领考点分析考点新知①函数奇偶性的考查一直是近几年江苏命题的热点，命题时主要是考查函数的概念、图象、性质等.②能综合运用函数的奇偶性、单调性及周期性分析和解决有关问题．了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性定义判断一些简单函数的奇偶性.掌握奇函数与偶函数的图象对称关系，并能熟练地利用对称性解决函数的综合问题.③了解周期函数的意义，并能利用函数的周期性解决一些问题.1.(习题改编)函数f(x)＝mx2＋(2m－1)x＋1是偶函数，则实数m＝________答案：解析：由f(－x)＝f(x)，知m＝

2、.2.(练习改编)函数f(x)＝x3－x的图象关于________对称.答案：原点解析：由f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－f(x)，知f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称．3.(原创)设函数f(x)是奇函数且周期为3，若f(1)＝－1，则f(2015)＝________．答案：1解析：由条件，f(2015)＝f(671×3＋2)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝1.4.(练习)对于定义在R上的函数f(x)，给出下列说法：①若f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)；②若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)

3、是偶函数；③若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数；④若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)不是奇函数．其中，正确的说法是________．(填序号)答案：①③解析：根据偶函数的定义，①正确，而③与①互为逆否命题，故③也正确，若举例奇函数f(x)＝由于f(－2)＝f(2)，所以②④都错误．5.(练习测试)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，则当x<0时，f(x)＝________．答案：x3＋x－1解析：若x<0，则－x>0，f(－x)＝－x3－x＋1，由于f(x)是奇函数，所

4、以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝x3＋x－1.1.奇函数、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．2.判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：(1)考查定义域是否关于原点对称．(2)根据定义域考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)．若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数．若f(－x)＝f(

5、x)，则f(x)为偶函数．若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数．若存在x使f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数．3.函数的图象与性质奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．4.函数奇偶性和单调性的相关关系(1)注意函数y＝f(x)与y＝kf(x)的单调性与k(k≠0)有关．(2)注意函数y＝f(x)与y＝的单调性之间的关系．(3)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上有相同的单调性．(4)偶函数在[a，b]和[－b

6、，－a]上有相反的单调性．5.函数的周期性设函数y＝f(x)，x∈D，如果存在非零常数T，使得对任意x∈D，都有f(x＋T)＝f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T为函数f(x)的一个周期．(D为定义域)课中技巧点拨题型1　判断函数的奇偶性例1　判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3－；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝(x－1)；(4)f(x)＝解：(1)定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，由f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(2)去掉绝对值符号，根据定义判断．由得故f(x)的定义域为[－1

7、，0)∪(0，1]，关于原点对称，且有x＋2＞0.从而有f(x)＝＝，这时有f(－x)＝＝－＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(3)因为f(x)定义域为[－1，1)，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(4)因为f(x)定义域为{－，}，所以f(x)＝0，则f(x)既是奇函数也是偶函数．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x4＋x；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝lg(x＋)．解：(1)定义域为R，f(－1)＝0，f(1)＝2，由于f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数；(2

8、)因为函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，并且当x＜0时，－x＞0，所以f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－(x2＋x)＝－f(x)(x＜0)．当x＞0时，－x＜0，所以f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝－(－x2＋x)＝－f(x)(x＞0)．故函数f(x)为奇函数．(3)