函数的奇偶性及周期性

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1、第六节函数的奇偶性及周期性一、函数的奇偶性奇偶性定　义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称二、周期性1．周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)

2、的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．课前检测1．下列函数为偶函数的是(　　)A．y＝sinx　　　　　　　　B．y＝x3C．y＝exD．y＝ln解析：选D　四个选项中的函数的定义域都是R.y＝sinx为奇函数．幂函数y＝x3也为奇函数．指数函数y＝ex为非奇非偶函数．令f(x)＝ln，得f(－x)＝ln＝ln＝f(x)．所以y＝ln为偶函数．2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)A．－B.C.D．－解析：选B

3、　∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝.又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝.3．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为(　　)A．－1B．0C．1D．2解析：选B　∵f(x)为奇函数且f(x＋4)＝f(x)，∴f(0)＝0，T＝4.∴f(8)＝f(0)＝0.4．若函数f(x)＝x2－

4、x＋a

5、为偶函数，则实数a＝________.解析：法一：∵f(－x)＝f(x)对于x∈R恒成立，∴

6、－x＋a

7、＝

8、x＋

9、a

10、对于x∈R恒成立，两边平方整理得ax＝0，对于x∈R恒成立，故a＝0.法二：由f(－1)＝f(1)，得

11、a－1

12、＝

13、a＋1

14、，故a＝0.答案：05．设函数f(x)＝x3cosx＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________.解析：观察可知，y＝x3cosx为奇函数，且f(a)＝a3cosa＋1＝11，故a3cosa＝10.则f(－a)＝－a3cosa＋1＝－10＋1＝－9.答案：－9　1.奇、偶函数的有关性质：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；(2)奇函数的图

15、象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然；(3)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0；(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反．2．若函数满足f(x＋T)＝f(x)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；应注意nT(n∈Z且n≠0)也是函数的周期．一、函数奇偶性的判断[例1]　设Q为有理数集，函数f(x)＝g(x)＝，则函数h(x)＝f(x)·g(x)(　　)

16、A．是奇函数但不是偶函数B．是偶函数但不是奇函数C．既是奇函数也是偶函数D．既不是偶函数也不是奇函数[自主解答]　∵当x∈Q时，－x∈Q，∴f(－x)＝f(x)＝1；当x∈∁RQ时，－x∈∁RQ，∴f(－x)＝f(x)＝－1.综上，对任意x∈R，都有f(－x)＝f(x)，故函数f(x)为偶函数．∵g(－x)＝＝＝－＝－g(x)，∴函数g(x)为奇函数．∴h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝f(x)·[－g(x)]＝－f(x)g(x)＝－h(x)，∴函数h(x)＝f(x)·g(x)是奇函数．∴h(1)

17、＝f(1)·g(1)＝，h(－1)＝f(－1)·g(－1)＝1×＝，h(－1)≠h(1)，∴函数h(x)不是偶函数．[答案]　A由题悟法利用定义判断函数奇偶性的方法(1)首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件；(2)如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是否对定义域内的每一个x恒成立(恒成立要给予证明，否则要举出反例)．[注意]　判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关

18、系时，才能判断其奇偶性．以题试法1．判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝＋；(2)f(x)＝3x－3－x；(3)f(x)＝；(4)f(x)＝解：(1)∵由得x＝±1，∴f(x)的定义域为{－1,1}．又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)∵f(x)的定义域为R，∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(3)∵由得－2≤x≤2且x≠0.∴f(x)的