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时间:2018-10-18
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1、根据已知条件求函数的解析式函数是高中数学的重要内容之一,贯彻于中学数学的各个部分,是中学数学主线,要掌握函数先要知道解析式,本文对根据已知条件求函数的解析式的方法进行了分析。 一、待定系数法 已知函数类型,假定函数的解析式,由题设条件列方程,求待定系数值。 例1:求一个实数的一次函数F(x),使得F{F}=8x+7。 解:设F(x)=ax+b(a,b∈R) F{F[F(x)]}=a[a(ax+b)+b]=ax+ab+ab+b=8x+7 ∴a=8ab+ab+b=7,∴a=2b=1,∴F(x)=2x+1。 二、换元法 已知F
2、[g(x)]是关于x的函数,即F[g(x)]=F(x)。 求F(x)的解析式,通常令g(x)=t,x=Φ(t),代入F[g(x)]=F(x)中,求得F(t)的解析式,再用x替换t便得F(x)的解析式。 例2:(1)已知F(x-2)=3x-5,求F(x); (2)已知F(1-cosx)=sinx,求F(x)。 解:(1)令t=x-2,则x=t+2,t∈R 由已知有f(t)=3(t+2)-5=3t+1,故f(x)=3x+1。 (2)t=1-cosx,则cosx=1-t,f(t)=1-cosx=1-(1-t)=-t+2t, 故f
3、(x)=-x+2x(0≤x≤2)。 三、消去法 在题设条件中,已含有所需函数的隐式,充分利用已知条件消去其余部分。 例3:设f(x)满足f(x)-2f()=x,求f(x)的解析式。 解:∵f(x)-2f()=x,(x≠0)① ∴将x换成,原方程为f()-2f(x)=② 联立①②消去f(),得f(x)=--。 四、特殊值法 将适当变量取特殊值,使问题具体化、简单化,从而找出规律,求出解析式。 例4:已知f(0)=1,f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),求f(x)。 解:令a=0,则f(-b)=f(0)-b(-b
4、+1)=1+b-b。 再令-b=x,即得f(x)=1+x(x+1)=x+x+1。 五、分段函数的解析式 对分段函数应分别求出各区间内的函数关系,再组合在一起。 例5:如图所示,在直角坐标系的第一象限内,△ABC是边长为2的等边三角形,设直线x=t(0≤t≤2)截这个三角形可得位于直线左方的图形的面积为F(t),求F(t)的解析式。 当1≤t≤2时,F(t)=-(2-t)+ 综上,F(t)=-t(0≤t≤1)(2-t)(1≤t≤2)
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