2004级硕士生概率论与随机过程考试大纲

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1、硕士生“概率论与随机过程”考试大纲撰稿人：唐碧华第一部分：概率论（55%）第一章：概率空间（15%）1、深刻理解集代数、σ-代数、单调类、l-系和p-系的概念，掌握其区别和联系；2、了解包含某一集合类的最小σ-代数、最小单调类、最小l-系的概念；3、了解集函数的有限可加性、σ-可加性和测度的有限可加性、σ-可加性的区别，并深入了解集函数与测度的性质；4、理解外测度和n*可测集的定义和性质，了解测度扩张和完备化的基本概念；5、了解n维L-S测度的构造方法和L测度的特殊性；6、深刻理解概率空间的定义，并掌

2、握其性质；7、理解条件概率的定义，会灵活运用乘法公式；8、了解两事件相互独立与互不相容的概念，能推广到n维的情形。第二章：随机变量和可测函数、随机变量的分布（15%）1、深刻理解可测函数和随机变量的概念，掌握它们的区别和联系；2、理解可测函数的结构性质，掌握其运算性质；3、理解二维离散型和连续型随机变量的联合分布和边缘分布，联合分布函数和边缘分布函数，联合分布密度和边缘分布密度等基本概念，掌握其求法；4、就离散型、连续型情形理解条件分布函数的定义，就连续型情形掌握求其条件分布密度函数的方法和技巧；5、

3、深刻理解随机变量的独立性，并掌握其判别方法。6、就一维和二维情形，掌握随机变量函数的分布及分布密度函数的求法。第三章：随机变量的数字特征（10%）1、理解可测函数积分的定义和性质；2、深刻理解随机变量的数字特征的定义，并熟练掌握其求法。3、了解数学期望的L-S积分表示；4、深刻理解条件数学期望的定义，掌握其求法；5、了解随机变量函数的条件数学期望的求法；6、掌握并能够灵活地使用Chebyshev不等式和Cauchy-Schwarz不等式。第四章：随机变量的特征函数（10%）1、深刻理解特征函数的定义，

4、熟练掌握两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布及正态分布特征函数的计算；2、理解特征函数的性质，并了解特征函数与分布函数的一一对应关系；3、了解n维正态分布的特征函数的定义，掌握n维随机变量服从正态分布的充要条件，理解n维正态随机变量的线性不变性。第五章：收敛定理（5%）1、充分理解四种收敛性的定义，掌握其基本关系。第二部分：随机过程（45%）第六章：随机过程的概念及统计特征（10%）1、深刻理解随机过程的基本概念，掌握样本函数、状态空间的定义；2、了解随机过程一维分布函数、分布密度的定义，知道推广到

5、n维的情形；3、掌握随机过程的数字特征：均值函数、方差函数、自相关函数、自协方差函数、互相关函数、互协方差函数。熟练掌握均值函数和相关函数的求法；4、了解二阶矩过程、正交增量过程、马尔可夫过程、独立增量过程、平稳增量过程、正态随机过程、泊松过程、维纳过程、平稳过程的定义及性质；5、知道两随机过程互不相关和相互正交的概念。第七章：随机分析（5%）1、深刻理解均方收敛的概念，掌握利用均方收敛准则判别随机过程的均方收敛性；2、了解随机变量序列几乎处处收敛、依概率收敛、依r阶矩收敛及依分布收敛的定义，知道这四

6、种收敛性之间的关系；3、了解均方连续、均方可导、均方可积的概念及判别准则。第八章：平稳随机过程（7%）1、解宽平稳过程（以下简称平稳过程）的概念，了解其与严平稳过程的差别；就各种情形能熟练地判断已知随机过程是否为平稳过程；2、理解两随机过程联合平稳的概念，会求互相关函数；3、理解平稳过程的相关函数的谱分解，知道功率谱密度和相关函数构成一对付氏变换函数，并能利用此关系相互求解；4、了解平稳过程的谱分解概念；5、理解平稳过程的各态历经性，根据均值和相关函数的各态历经性，能判别平稳过程是否具备各态历经性。第

7、九章：马尔可夫链（15%）1、深入理解马氏链、一步转移概率矩阵的概念，掌握随机矩阵的定义，会就实际问题求出一步转移概率矩阵；2、理解初始概率和绝对概率（初始概率向量和绝对概率向量）的概念，能利用C-K方程求n步转移概率矩阵和绝对概率向量；3、理解马氏链的状态常返（正常返、零常返）、非常返及遍历状态的概念，了解闭集的定义和不可约马氏链的性质，掌握其判别法。已知状态空间和一步转移概率矩阵能熟练地判别状态的常返、非常返性，并能将状态空间进行分解；4、理解马氏链的遍历性，掌握平稳分布的求法，知道平稳分布与各状

8、态平均返回时间的关系。第十章：连续时间的马尔可夫链（8%）1、了解连续时间的马尔可夫链的概念，深刻理解转移概率的定义和性质；2、理解柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程，就实际问题掌握其转移概率矩阵和Q矩阵的求法；3、理解初始概率和绝对概率（初始概率向量和绝对概率向量）的概念，并掌握其求法。