2006年考研数学三真题及答案

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1、2006年考研数学三真题一、填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。）(1)limn→∞(n+1n)(-1)n=。【答案】1。【解析】【方法一】记xn=(n+1n)(-1)n,因为limk→∞x2k=limk→∞2k+12k=1,且limk→∞x2k+1=limk→∞(2k+22k+1)-1=1,故limn→∞xn=1。【方法二】limn→∞(n+1n)(-1)n=limn→∞e(-1)nlnn+1n,而limn→∞lnn+1n=limn→∞ln1+1n=0无穷小量，(-1)n为有界变量，则原式=e0=1。综上所述，本题正确答案是

2、1。【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的四则运算(2)设函数f(x)在x=2的某领域内可导，且f'x=efx,f2=1,则f''2=。【答案】2e3。【解析】本题主要考查复合函数求导。由f'x=efx知f''x=efxf'x=efx∙efx=e2fxf'''x=e2fx∙2f'x=2e3fxf'''2=2e3f2=2e3。综上所述，本题正确答案是2e3。【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数的导数(1)设函数f(u)可微，且f'0=12,则z=f(4x2-y2)在点(1,2)处的全微分dz

3、(1,2)=。【答案】4dx-2

4、dy。【解析】因为∂z∂x

5、(1,2)=f'4x2-y2∙8x

6、1,2=4,∂z∂y

7、(1,2)=f'4x2-y2∙-2y

8、1,2=-2,所以dz

9、(1,2)=∂z∂x

10、(1,2)dx+∂z∂y

11、(1,2)dy=4dx-2dy。综上所述，本题正确答案是4dx-2dy。【考点】高等数学—多元函数微积分学—偏导数、全微分(2)设矩阵A=21-12，E为二阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则B=___________。【答案】2。【解析】BA=B+2EBA-E=2EB(A-E)=2EBA-E=22=4因为A-E=11-11=2，所以B

12、=2。综上所述，本题正确答案是2。【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质线性代数—矩阵—矩阵的线性运算(3)设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则PmaxX,Y≤1=___________。【答案】19。【解析】本题考查均匀分布，两个随机变量的独立性和他们的简单函数的分布。事件maxX,Y≤1=X≤1,Y≤1=X≤1∩Y≤1,又根据X,Y相互独立，均服从均匀分布，可以直接写出PX≤1=13∙13=19。综上所述，本题正确答案是19。【考点】概率论—多维随机变量的分布—二维随机变量的分布(1)设总体

13、X的概率密度为fx=12e-x-∞0,f''x>0，∆x为

14、自变量x在点x0处的增量，∆y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若∆x>0，则(A)0fx0+f'x0∆x,∆x≠0，于是fx0+∆x-fx0>f'x0∆x>0,∆x>0，即0

15、理意义(8)设函数f(x)在x=0处连续，且limh→0f(h2)h2=1,则(A)f0=0且f-'(0)存在(B)f0=1且f-'(0)存在(C)f0=0且f+'(0)存在(D)f0=1且f+'(0)存在【答案】C。【解析】由limh→0f(h2)h2=1,且limh→0h2=0,则limh→0f(h2)=0,由于f(x)在x=0处连续，且limh→0f(h2)=f0=0,从而limh→0f(h2)h2=limh→0f(h2)-f(0)h2=1由于上式中h2→0+只有从大于零一边趋于零，则由上式可得f+'0=1。综上所述，本题正确

16、答案是C。【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念高等数学—一元函数微分学—导数的概念(9)若级数n=1∞an收敛，则级数(A)n=1∞an收敛(B)n=1∞(-1)nan收敛(A)n=1∞anan+1收敛(A)n=1∞an