第六节 朱世杰和元代数学

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1、第六节朱世杰及元代数学一、元初数学成就　　1．王恂的数学工作　　王恂(1235—1281)，元代数学家．字敬甫，唐县(今属河北)人．他“六岁就学，十三岁学九数，辄造其极”．后从刘秉忠学，官至太史令．至元十七年(1280)与天文学家郭守敬(1231—1316)等共同编成《授时历》，其中的数学工作主要是王恂作的．　　唐代张遂制订历法时，假定太阳作匀加速运动，所以使用二次内插法．但实际上，太阳运行的加速度是不断变化的．在《授时历》中，王恂把太阳、月亮及五星的视行度当作时间的三次函数，采用三次内插法来求函数值，收到更好效果．但确定天体位置需要使用赤道坐标和黄道坐标，王恂之前是直接通

2、过天文观测来确定这两种坐标的．王恂首先注意到两种坐标的数学关系，提出如下问题：已知太阳的“黄道积度”，求“赤道积度”和“赤道内外度”．如图8．16，设A为春分点，D为夏至点，　　其中d为直径，BN⊥OC，CP⊥OE．只要测得黄道坐标，便可利用上述公式及其他有关知识推出相应的赤道坐标，从而使人们经过较少的实测，得到较多的结果．　　2．赵友钦的割圆术　　赵友钦，元代天文学家、数学家．字子公，号缘督先生，鄱阳(今江西鄱阳)人，生卒年不详．所著《革象新书》是一部天文数学著作．　　作圆内接正方形，然后不断倍增边数，依次求得各内接正多边形边长(图8．17)．“置第十二次之小弦以第十二次

3、之曲数一万六千三百八十四乘之，得三千一百四十一寸五分九厘二毫有奇，即是千寸径之周围也．”　　周率近似值中最准确的一个．赵友钦说：“自一、二次求之以至一十二次，可谓极其精密．若节节求之，虽至千万次，其数终不穷．”可见他不仅认识到圆内接正多边形的极限位置是圆，而且认识到极限是一个不可穷尽的过程，这种思想与现代极限观念相当接近．赵友钦还进一步揭示了方、圆关系，说：“要之方为数之始，圆为数之终．圆始于方，方终于圆．”这种“曲直互通”的思想是很深刻的，他已认识到方可转化为圆，而转化的条件便是取极限．二、朱世杰生平　　朱世杰，元代数学家．字汉卿，号松庭，燕山(今北京附近)人，生卒年不详

4、．　　元统一中国后，朱世杰曾以数学家的身份周游各地二十余年，向他求学的人很多，他到广陵(今扬州)时“踵门而学者云集”．朱世杰全面继承前人的数学成果，他吸收了高次方程的数值解法，又吸收了北方的天元术及南方的各种日用算法、数学口诀等，在此基础上进行了创造性研究，写成以总结和普及当时各方面数学知识为宗旨的《算学启蒙》(三卷)和四元术的代表作《四元玉鉴》(三卷)，先后于1299年和1303年刊印．　　朱世杰是元代最杰出的数学家，清罗士琳(1774—1853)说他“兼包众有，充类尽量，神而明之尤超越乎秦(九韶)李(冶)之上．”《四元玉鉴》的成书则标志着宋元数学达到最高峰．美国科学史家

5、萨顿(G．Sarton)称赞该书“是中国数学著作中最重要的一部，也是中世纪的杰出数学著作之一．”三、《算学启蒙》　　《算学启蒙》的内容由浅入深，次第谨严，从一位数乘法开始，一直讲到当时的最新数学成果——天元术，形成一个完整体系，内容包括多位数乘法、分数四则运算、面积和体积计算、比例问题、垛积术、盈不足术、线性方程组、高次方程解法等．尤其引人注目的是，卷首“总括”中给出一整套数学概念及运算法则，作为全书的理论基础．其中包括正负数乘法法则及倒数概念．朱世杰明确指出：“同名(号)相乘为正，异名相乘为负．”又指出：“平除长为小长，长除平为小平．……小长平相乘得一步为小积．”这便给出

6、倒数的基本性质　　在《算学启蒙》中，朱世杰借助辅助未知数解线性方程组，这在数学史上还是首次．例如卷下“方程正负门”第五题，依术列方程组如下(改用现代符号)：　　　这种方法对于简化运算程序是很有意义的，系数越复杂，设辅助未知数的方法就越有用．另外，书中把天元术广泛用于各种面积和体积问题，导出许多高次方程，这说明天元术在李冶的基础上有了进一步的发展．朱世杰还致力于算法研究，给出一些新的公式，如“开方释锁门”给出根式运算法则　　其中n，a，b为自然数，n≥2．　　《算学启蒙》为《四元玉鉴》提供了必要的预备知识，正如罗士琳所说，该书“似浅实深”，与《四元玉鉴》“相为表里”．四、《四

7、元玉鉴》　　《四元玉鉴》的主要成就是四元术，即四元高次方程组的建立和求解方法．在他之前，已有李德载《两仪群英集臻》讨论二元术，刘大鉴《乾坤括囊》讨论三元术．在此基础上，朱世杰“演数有年，探三才之赜，索九章之隐，按天、地、人、物立成四元”(《四元玉鉴》后序)，创立了举世闻名的四元术．　　朱世杰的天、地、人、物，相当于现在的x，y，z，u，其摆法如图8.18，例如方程　　-x2+3xy-2xz+x-y-z=0　　(卷下“三才变通”第1题)　　及　　2u4-u3-u2+3u-8z2+2xz+2xy+6yz=0　　(卷下“