朱世杰一范德蒙公式的发展简介

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1、數學傳播32卷4期,pp.66-71朱世傑一一范德蒙公式的發展簡介羅見今摘要:朱世傑−范德蒙公式(theChu-Vandermondeformula)是現代組合計數理論的一個基本公式。本文闡明了該公式的組合意義,分別論述了朱世傑(1303)和A.T.Vandermonde(1772)的歷史貢獻,追蹤錢寶琮1923年首次解讀朱世傑的成果和傳播海外的歷程,並對朱−范公式的現代發展作出概要介紹。關鍵詞:組合數學、組合計數、朱世傑−范德蒙公式、數學史。現在國內外組合分析家所發表的一些論文和著作中,當涉及對兩組合的乘積求和或“卷積型”粧等式時,時常提到“theChu

2、-Vandermondeformula”(下文簡稱“朱—范公式”)。這裡的“Chu”即朱世傑(字漢卿,號松庭),我國宋元數學四大家之一,他在1303年出版了hh四元玉鑒ii,對中世紀世界數學卓有貢獻。Vandermonde就是學高等代數的人熟知的法國數學家范德蒙(A.T.Vandermonde,1735∼1796,或譯為旺德蒙德)。二百多年來,朱−范公式已有Rothe(1793),Gauss,Hagen(1891),Gould(1956),Handa和Mohanty(1969)等人的多種擴充,應用甚廣。因此,有必要對朱世傑、Vandermonde的工作和後

3、來的進展作一概述。1.hh四元玉鑒ii中的組合粧等式朱世傑在hh四元玉鑒ii[1](1303)“茭草形段”、“如象招數”和“果垛疊藏”中用傳統的垛積招差術獲得了一批重要成果,其中有朱世傑粧等式:nXk+p−1n+p=(1)pp+1k=1它是賈憲三角形中每斜行前n項和的計數公式,表明了組合的一項基本性質,作者認為與帕斯卡粧等式具有同樣的重要性。式(1)右邊的組合數(在賈憲和朱世傑時僅為計算二項式係數的演算法,不含從多少元素中取出多少元素不同取法總數的組合意義)在中國數學史上叫做三角垛系列,朱世傑給出p=2,3,4,5,6時的名目依次為:茭草垛、三角垛

4、、撒星形垛、撒星更落一形垛、三角撒星更落一形垛。66朱世傑−范德蒙公式的發展簡介67在通常的組合數學書和組合粧等式表[2]中常見的等式是mXkm+1=(2)pp+1k=0及qXp+kp+q+1=(3)kqk=0其實兩者均為朱世傑粧等式的等價公式,表示賈憲三角形中的同一性質。qXp+kp+q+1證明:由(3)知=,令m=p+q,q=m−p,代入得pp+1k=0mX−pXmp+km+1km+1=,亦=,即式(3)變換成(2)。pp+1pp+1k=0k=0再證(1)(2)兩式等價。令m=n+p−1,XnmX−p+1

5、XmXmk+p−1k+p−1kkm+1====ppppp+1k=1k=1k=pk=0式(1)即變換成(2)式;反之,(2)(3)式亦可變換成(1)式。證完。據清代學者羅士琳的解釋[3],可將“茭草形段”第四題給出的關係表示為Xnk+1n+2−kXnk+3n+4==(4)2245k=1k=1在原著中“撒星更落一形垛”可用式右的組合表示,是式(1)中p=5時的情況。羅士琳將ak=k(k+1)/2叫做“三角積”,bk=(n−k+2)(n−k+1)/2叫做“逆列三角積”。顯然Σakbk構成卷積。朱世傑在“果垛疊藏”第六題中依據同樣的關係

6、和方法求得XnXnk+2n+2−kk+4n+5==(5)3256k=1k=1朱世傑命名的“撒星更落一形果子積”,其組合形式應如式(5)右邊所示,是式(1)中p=6時的情況。羅士琳將ak=(k+2)(k+1)k/6叫做“三角積積數”,bk(n+2−k)(n+1−k)/2叫做“逆列三角積”,顯然Σakbk構成卷積。不難看出,(4)、(5)兩式屬於更廣泛一類公式的兩個特例,本文將其推廣,獲得XnXnk+p−1n+q−kk+p+q−1n+p+q==(6)pqp+qp+q+1k=1k=168數學傳播32卷4期民97年12月當p=2,q

7、=2時便是式(4),當p=3,q=2時便是式(5),思路較為清晰。有理由認為朱世傑已掌握這類公式,推廣它是題中應有之義。我們將式(4)、(5)、(6)稱為朱世傑組合卷積公式。推測它的立術之原,不大可能是從代數變換而得,朱世傑一定是從大量操演垛積實物獲得了其間的數量關係,因此可以說,垛積成為中國傳統數學早期一種有效的數學模型。2.Vandermonde公式的組合意義A.T.Vandermonde是法國科學院院士(1771),對高等代數的發展有重要貢獻。Van-dermonde公式在三種中譯本的hh范氏大代數ii中皆有介紹,並出現於近年出版的組合數學專著、教材

8、的例題和習題中[4,5]。然而,大概是缺乏歷史感之故,有的書卻未注