范德波方程简介

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1、VanDerPol方程及应用简介电子科技大学国际化软件人才实验班电子科技大学软件学院Contents电子科技大学软件学院总结Vanderpol方程概述Vanderpol方程的推导Vanderpol方程的数值解及分析Vanderpol方程在生物医学工程中的应用Vanderpol方程概述电子科技大学软件学院BalthazarvanderPol(1889-1959)是荷兰的一位著名的电子工程师。在20世纪20年代到30年代之间，他开创了现代的实验动力学。1927年，他为了描述在电子电路中三极管的振荡效应，第一次地推导出了著名的现在我们熟知的v

2、anderpol方程。此后，学者们发表了数以千计的论文利用该方程来寻找那些发生在非线性系统中的问题的更加优秀的解决方案。Vanderpol振荡系统作为一种经典的自激振荡系统，已经作为一种重要的数学模型并且在更加复杂的动力系统的建模中广泛使用。BalthazarvanderPol(1889-1959)电子科技大学软件学院Vanderpol方程概述上图是用matlab绘制出的vanderpol方程图像。左边为y(t)的函数图像，右面为y`(t)-y(t)的函数图像。（其中=1，y(0)=0.25，y`(0)=0）电子科技大学软件学院Vand

3、erpol方程概述自上世纪20年代vanderpol方程问世以来，它便成了自激极限环振荡系统的原形。已有不少学者对受迫的vanderpol振荡系统的行为进行研究。其中，能够引起科学家较大兴趣的方面是，在外界周期力的作用下vanderpol振荡系统所产生的现象，特别是同步现象以及动力学中的混沌现象。在物理学、生物学、神经学甚至经济学中，vanderpol振荡已经成为描述振荡过程的一种基础模型。BalthazarvanderPol本人对心脏跳动建立了许多电路模，以此型来对心脏跳动的稳定性进行研究。此后，许多科学家建立了许多不同的模型来研究物

4、理学以及生物学上的一些现象。比如，在生物学中，vanderpol方程已经被运用到口胃神经节的胃磨回路的建模当中。在地震学中，对于地理断层中不同地层之间的相互作用的建模当中，vanderpol方程也起到了很大的作用。具体应用，请参考本ppt的后续章节。电子科技大学软件学院Vanderpol方程的推导在此我们利用简化的电感耦合晶体管振荡电路来建立非线性振荡器的简化模型。左图是一振荡电路的交流通路，其中的电流和电压都是交流分量。u是集电极电压，ub是基极电压，i是集电极电流，ib是基极电流，图中还标出了各个电流的正方向。考虑到集电极的变化电压

5、，得到以下两个公式图.电感耦合晶体管振荡器的交流通路(1)(2)注：电容所带电荷，M为产生正反馈的互感。忽略电路中的电阻。电子科技大学软件学院Vanderpol方程的推导图.电感耦合晶体管振荡器的交流通路根据基尔霍夫定律可得（4）另外我们可以得到等式（5）基极电压由下式表示（3）电子科技大学软件学院Vanderpol方程的推导图.电感耦合晶体管振荡器的交流通路晶体管的特性可以用集电极电流i和基极电压和集电极电压u之间的关系来表示，一般写成（6）其中是一个非线性函数，它随工作电压等而改变。K可以近似的当做一个量级为0.01的常数。在此我们

6、略去利用晶体管特性对进行简化近似的过程，不加推导地给出下式（7）其中a,b均为常数。电子科技大学软件学院Vanderpol方程的推导图.电感耦合晶体管振荡器的交流通路从方程组（1）-（5）以及（7）并且略去（在晶体管内基极电流往往比集电极电流小的多），可求出振荡电压u所满足的微分方程。（8）其中这就是著名的vanderpol方程。将某些变量取特殊值后，就变换成了我们最常见的形式（9）电子科技大学软件学院Vanderpol的数值解及分析在本节，将对vanderpol的数值解法做具体的介绍，并对不同的方法的优劣进行适当的分析。以下介绍以下求

7、解常微分方程的常用的单步法中的三种显式Euler法改进的Euler方法四阶Runge-Kutta法在介绍这三种方法前，我们先利用matlab的simulink对vanderpol方程进行一次仿真，先来领略一下vanderpol方程的函数图像。Vanderpol方程的数值解及分析——matlab仿真电子科技大学软件学院图.vanderpol方程的仿真结构图Vanderpol方程的数值解及分析——matlab仿真电子科技大学软件学院图.vanderpol方程的相平面图图.vanderpol方程y-t函数图Vanderpol方程的数值解及分析

8、——解vanderpol的基本原理电子科技大学软件学院1.列出vanderpol方程2.把二阶方程转降一阶微分方程组（不失一般地在此取=1）令，则降为一阶初始条件Vanderpol方程的数值解及分析——解v