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1、理论试题.周二,2014年7月15日3/3第2题范德瓦尔斯状态方程（11分）在熟悉的理想气体模型中，其状态方程遵从克拉珀龙－门得列夫定律（Clapeyron-Mendeleevlaw），但是，理想气体模型忽略了以下所提及的重要物理性质，首先，真实气体分子是有大小的;其次，分子间彼此存在相互作用。此题所有部分只需考虑一摩尔的水分子。A部分非理想气体状态方程（2分）当考虑气体分子尺度时，气态的状态方程为PV-b=RT(1)这里P,V,T分别为气体的压强、摩尔体积及温度；R表示普适气体常数；b为与体积有关
2、的常量。A1估算b，以分子的直径d表示。（0.3分）当考虑到分子间的吸引力时，范德瓦尔斯提出了以下状态方程，此方程清楚地描述了气体及液体的状态。P+aV2V-b=RT.(2)式a为常量。当温度T低于某临界值Tc，方程（2）的等温线可以用图1中的非单调曲线1表示，该曲线被称为范德瓦尔斯等温线。图1中的曲线2表示相同温度下理想气体的等温线。真实等温线与范德瓦尔斯等温线有所不同，在某常压强PLG处，在范德瓦尔斯等温线上画一条线段АВ,该线段位于体积VL及VG之间，对应着液相（以L标示）平衡及气相（以G标示
3、）平衡。J.Maxwell根据热力学第二定律证明，压强PLG的选择应该使得图1中区域I及II的面积相等（称为Maxwell规律）图1.范德瓦尔斯液态／气态等温线（曲线1）及理想气体等温线（曲线2）图2：多个范德瓦尔斯状态方程的等温线理论试题.周二,2014年7月15日3/3随着温度上升，在等温线上的线段AB会缩短，当温度上升到某个温度Tc，且压强PLG=Pc时，线段AB将缩成一个点。Pc和Tc分别叫做临界压强和临界温度,它们可用实验精确测定。A2推导范德瓦尔斯常量a和b，用Tc和Pc表示。（1.3分
4、）A3对于水，Tc=647K，Pc=2.2∙107Pa。计算水的范德瓦尔斯常量aw和bw。（0.2分）A4估算水分子的直径dw。（0.2分）B部分气体和液体的性质（6分）这一部分问题研究水在温度T=100°C气体和液体状态下的一些性质。该温度下的饱和蒸汽压强是pLG=p0=1.0∙105Pa，水的摩尔质量是μ=1.8∙10-2kgmole。气体状态水在气态时，VG≫b的假设是合理的。B1推导体积VG的表达式，用R,T,p0和a表示。（0.8分）利用理想气体状态方程计算出的水的体积为VG0，VG0与V
5、G的数值差异很小。B2计算由于分子间的相互作用力，相对于理想气体，体积的相对减小量(百分比表示)∆VGVG0=VG0-VGVG0(0.3分)如果系统体积减小到小于VG，气体开始收缩。然而，非常纯的气体系统仍能处于气态，这是一种力学亚稳态（此时气体被称为过冷气体）。系统保持这个状态，直至体积减小到特定值VGmin。温度不变条件下，过冷气体力学稳定性条件可以写成dPdV<0。В3求:水蒸汽的体积可以减少多少倍而还能保持处于亚稳态，即求出VG/VGmin的表达式，并计算其数值。（0.7分）液体状态用范德瓦
6、尔斯方程描述液态水时，可以假定不等式P≪a/V2成立。B4求出液态水的体积VL的表达式，用a,b,R和T表示。（1分）假设bRT≪a，下面计算关于水的有关参数。如果计算得到的数值和所熟知理论试题.周二,2014年7月15日3/3的数值有差异，不要奇怪。B5求出液态水的密度ρL的表达式，用μ,a,b,R来表示，并计算结果。（0.5分）B6求出体积热膨胀系数α=1VL∆VL∆T的表达式，用a,b,R表示，并计算出结果。（0.6分）B7求出水的气化比热容L的表达式，用μ,a,b,R表示，并计算结果。（1.
7、1分）B8考虑单层分子构成的水层，估算水的表面张力σ。（1.2分）C部分液体-气体系统（3分）根据前述的Maxwell规律（通过简单的积分，得到的面积相等）和范德瓦尔斯状态方程，利用B部分中的近似，可以证明饱和蒸汽压pLG与温度T的关系为lnpLG=A+BT,(3)式中A和B均为常量，并且可以由a和b表示为:A=lnab2-1;B=-abR汤姆逊指出，饱和气体压强依赖于液体表面的曲率。考虑一种对毛细管非润湿液体（接触角为180°），当毛细管浸入液体中，由于表面张力的存在，毛细管中的液体将下降到一定高
8、度(见图3)。С1求出液体弯曲表面上饱和蒸汽压的微小变化∆pT，用蒸汽密度ρs，液体密度ρL，表面张力和表面曲率半径r表示。（1.3分）图3毛细管插入非浸润其的液体中在B3部分中考虑的亚稳态被广泛用于实际的实验装置中，例如研究基本粒子性质的云室。它们也在自然现象中发生，例如晨露的形成。过冷蒸汽在形成液滴时冷凝。非常小的液滴快速蒸发，但是足够大的液滴能够继续增大。C2假设夜晚的温度为te=20°C时，空气中的水蒸气饱和，但是早晨时环境温度降低了∆t=5.0°C。假设蒸汽
