变系数奇摄动常微分方程dg法

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1、摘要奇异摄动常微分方程的初值问题出现在很多领域，比如：科学技术和经济领域等．也曾用其他方法求解：如差分法，谱方法和连续有限元法．最近几年发展的间断有限元方法(DG法)的应用非常广泛，人们也越来越热衷于用此方法来求解各类方程．它最大的优点是逼近解很稳定，不出现振荡现象；其次是精度高，有超收敛性；而且还有一个特征是降低了对解的光滑性要求，这也是将它运用于解决其他各种数学物理等问题的巨大推动力．本文讨论用m次间断有限元(DG)解变系数奇异摄动常微分方程初值问题eux+b(x)u=，(z)，u(o)=uo，b(x)=1一z，z∈J=[0，l】．问题有新的特点

2、：1．是变系数b(x)：1一z，且在右端点z：1处为o；2．有双重奇异性．在问题中，z=0为边界层，而z=1为转点，有内边界层，解有u=o(e一{)．在奇点z=0的边界层，确定丁=(m+1)e胁EI／6(o)，如常系数情形相同，m次DG仍为Radau点结构．但在z>丁时遇到本质的新困难．本文主要工作及创新点如下：1．将讨论区间(o，1)分为3段：奇异段JO=(0，7_)，丁=(m+1)EmeI／6(o)，确定，光滑段J1=(丁，1一T)，T=c《及内边界层J2=(1一正1)．基于解的表示研究在各段的正则性质．2．正确地划分了内边界层厚度丁=以丽，Ⅳ是

3、剖分数，c可以根据推导确定．按理论分析的启示，在Jl段采用了变步长九产hb(xj)，使DG在‘，1段保持了Gauss点超收敛阶D(^m+2)．3．在确定内边界层的厚度r后，在J2段采用了均匀网格计算，使DG结果表明为Radau点结构．关键词：常微分方程，间断有限元，变系数，奇异摄动，超收敛．ABSTRACTOrdinarydifferentialequationswithDirichletboundaryarisewidelyinmanyfields，likescienceandtechnologyandeconomicandSOon．Manyoth

4、ermethodshadbeenusedtosolvethisproblem，suchasdifferencemethods，spectralmethodsandcontinuousfiniteelementmethods．TheDGmethoddevelopedinrecentyearsiswidelyused，peopleareincreasinglykeenonthismethodforsolvingvariouskindsofequa垃ons．Thebestadvantageistheap-proximatesolutionoftheprob

5、lemisstable，andtherewerenooscillationphe-nomena；secondly，thesolutionoftheproblemishighaccuracyandthereisasuperconvergence：Anotheradvantageisthatitloosesdemandofthesmooth-hessofthesolutiontotheequations．Thisisalsothetremendousimpetustoapplyittosolvevariouskindsofprobleminmathema

6、ticalandphysics．Thispapermainlydiscusseshowtosolvetheproblemofthesingularlyper-turbedequationswithvariablecoemcientsandDirichletboundaryconditionbvDGmethodEu。+b(x)u=，(z)，u(o)=UO，b(x)=l—z，z∈J=【0，1】．，Therearenewfeaturesofthisproblem：ontheonehand．withvariouscO-efficientsb(x)=1一zan

7、ditturnstozeroatthepointz=1：ontheotherhand，withdoublesingularity．Inthisproblem，z=0issingularpointwhilez：1isaturnpointwith_innenbonndaqylayerwherethesolutionisu=D(e—i)．theareanearthesingularpointz=0istheboundarylayer，theerrorlineisRadautypebyDGmethodastheconstantcoefficientsitua

8、tionwhen7-=(m+1)EIfnEI／6(o)．butwemeettheessentialdiffi