浅谈二次函数图象教学

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1、浅谈二次函数图象教学函数是中学数学的重点内容，函数概念贯穿于中学数学的始终，利用函数知识、思想可以处理、解决很多现实生产生活中的数学问题。因此，近几年来的高考数学试题，都贯穿着函数及其性质这条主线，显现出“函数热”居高不下的趋势。在现行的八年级教材中，已给出了十九世纪德国数学家黎曼（G.F.B.Riemann，1826—1865）和狄利克雷（L.P.G.Dirichlet，1805-1859）的函数定义，并重点研究了一次函数、正比例函数的图象及性质，九年级重点学习了反比例函数和二次函数的图象和性质，这为高中学习集合基本知识和进一步学习函数的集合定义、

2、单调性、奇偶性、周期性及其它性质预设了必备的铺垫基础。本文重点探讨了初中二次函数图象的教学，希望能引起同行的共鸣。　　一、按照学生的认知规律，加强知识形成过程的教学　　义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐的发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律和认知规律。因此对二次函数图象的教学，笔者认为关键在于不要人为地割裂函数y=x2、y=x2、y=2x2和y=-x2之间的联系，在画出各个图象时，必须让学生自己观察出各函数的对称轴、顶点、开口方向，分别对各种情形进行研究，进而揭示其图象特征，最后再对函数y=ax

3、2（a≠0）的图象和基本特征进行归纳。这符合学生的认知规律：由局部到整体，由特殊到一般，由简单到复杂。在学习画函数y=x2的图象时，还应明确告诉学生是a=1时的特殊例子，让学生意识到存在有a≠1的种种情况，从而对y=ax2的图象和简单性质形成完整的认知体系。　　二、明确图象在二次函数教学中的重要意义，突出教学重点　　图形语言是一种视觉语言，与符号语言一样都是数学语言，而且是一种特殊的数学语言。它不仅具有符号语言准确、严密、简明的特点，还具有直观、形象、容量大，便于观察、记忆和联想等优点。因此利用图形语言进行记忆具有符号语言所不能及的优越性。二次函数的

4、图象，教学的重点就是会画函数的图象，而要准确、迅速地画出图象，必须研究图象——抛物线的简单性质，这是最基本的要求，也是教学的重点。而有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。　　在二次函数的教学中，笔者曾做过实验：将班上学生分成两个组，第一组学生在画出二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的基础上，根据图象的结构和特点（图1）来认识、学习二次函数的性质，时间为5分钟；第二组学生则是直接学习用符号语言表示出来的二次函数的性质，时间为15分钟。结束后两个组用同样的试题进行检测，第一组掌握的情况明

5、显好于第二组，可见函数中图形语言教学的重要性。事实上，学生只要看上几眼二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象就可记住它的结构和特征，同时也就记住了二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性和极值性等性质，这比逐字逐句地按符号语言来记忆它的性质至少要节约的时间，而且记忆保持也比较牢固。在观察图象的基础上，描绘出二次函数显而易见的特征，反过来基本特征又使画图的选点方向更加明确。教学中只要抓住这一主要矛盾加以解决，脱开图象找二次函数的顶点、对称轴、开口方向等次要矛盾即可迎刃而解。　　三、重视图形语言与符号语言的互化，培养学生识别函数图象的能力　　图

6、形语言与符号语言各有其自身的特点，教学过程中，要准确地交流数学思想，正确表达数学观点，不可避免地要使用符号语言。在函数教学中，要通过函数图象给出的某些条件，利用图形直观形象的特点，观察图象的形状、位置、范围，联想相关的方程或数量，将图形语言转化成符号语言，再应用符号语言的特点解决所要求的问题。　　例：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图2所示，则下列关于a、b、c间的关系判断正确的是（）。（2004，陕西）　　（A）ab<0　　（B）bc<0　　（C）a+b+c>0　　（D）a-b+c<0　　剖析：因为图象开口向下，所以a&

7、lt;0；又图象与y轴交于负半轴，故c<0。由于对称轴x=-在y轴左侧，所以-<0，从而b<0。所以可排除（A）、（B）、（C），故选（D）。　　注意到，当x=-1时，f（-1）=a-b+c，由图象可得f（-1）<0，即a-b+c<0，即可选（D）。　　在二次函数教学中，除了抓好形译数，还要抓好数化形，即函数是中学数学的重点内容，函数概念贯穿于中学数学的始终，利用函数知识、思想可以处理、解决很多现实生产生活中的数学问题。因此，近几年来的高考数学试题，都贯穿着函数及其性质这条主线，显现出“函数热”居高不下的趋势。在现行的八

8、年级教材中，已给出了十九世纪德国数学家黎曼（G.F.B.Riemann，1826—1865）和狄利克雷（L.