高等数学课后习题答案第八章3.doc

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1、第八章习题解答（3）节8.5部分习题解答1、下列方程确定了，求，（1）、解：设，；（2）、解：设，；；（3）、解：设，；（4）、解：设，；162、下列方程确定了，求（1）、解：设，；（2）、解：设，；（3）、解：设，；（4）、解：设，；3、设确定了，验证：证明：设，16；所以4、设都是由方程确定的函数，证明证明：5、函数具有连续的偏导数，验证方程所确定的函数满足证明：设，则有，，，，，于是6、设具有连续偏导数，方程确定了，求解：设，又设，则有，，，，，167、设具有连续偏导数，方程确定了，求解：设，8、求由方程组所确定的函数的导数或偏导数（1）、求解：对等式

2、两边同时求关于的偏导数得就是解得（2）、求解：对等式两边同时求关于的偏导数得16解得（3）、求解：对等式两边同时求关于的偏导数得就是解得（4）、求解：对等式两边同时求关于的偏导数得即解得：16习题8.6解答1、求下列曲线在指定点的切线和法平面（1）、曲线在点解：，从而得在点的切线的方向向量为，于是得切线方程为：；法平面方程为，即（2）、曲线在的对应点解：，的对应点是点，该的切线的方向向量为，于是得切线方程为：；法平面方程为，即（3）、曲线在的对应点解：，的对应点是点，该的切线的方向向量为，于是得切线方程为：；法平面方程为，即（4）、曲线在解：，对应着，该的切

3、线的方向向量为，于是得切线方程为：16；法平面方程为，即（5）、曲线在点解：设，，于是，于是所以切线的方向向量于是得切线方程为：；法平面方程为，即（6）、曲线在点解：设，，于是，于是所以切线的方向向量0是得切线方程为：；法平面方程为，即1、在曲线上求一点，使在该点的切线与平面平行解：已知平面的法向为，曲线的切线的方向，由题设可知16即解得，所求的点是或者1、求下列曲面在指定点的切平面和法线（1）、在点解：切平面的法向为，切平面为即法线为（2）、在点解：切平面的法向为，切平面为即法线为（3）、在点解：切平面的法向为，切平面为即法线为5、在曲面上求一点，使在该点

4、的法线垂直于平面平行解：所求法线的方向为设切平面的法向为，16于是有向量所以得，所求的点是。6、求上的点处的切平面与面的夹角的余弦解：切平面的法向为，面的法方向为夹角的余弦为7、试证明：上任意一点处的切平面在三个坐标轴的截距之和为证明：切平面的方程为整理为截距式方程为所以截距之和为8.7习题1、求函数在点处沿从该点到点的方向的方向导数解：2、求函数在点处沿向量的方向导数16解：3、求函数在点处沿方向余弦的方向导数解：3、求函数在点处沿方向余弦的方向导数解：4、求函数在点处沿方向的方向导数解：5、求函数在点处沿方向角的方向导数解：166、求函数在点处沿方向的方

5、向导数解：7、求函数在点处沿方向余弦的方向的方向导数，并指出（1）、沿什么方向的方向导数最大？（2）、沿什么方向的方向导数最小？（3）、沿什么方向的方向导数为零？解：（1）、当时，即沿方向时，也就是方向时方向导数最大。（2）时，就是，时，也就是方向时方向导数最小。（3）时，就是，时，也就是方向时方向导数为零。168、求函数在点处的方向导数的最大值及相应的方向，并指出在该点沿什么方向的方向导数为零？解：，相应的方向就是的方向，由于所以当沿与方向垂直的方向时，方向导数为零。9、如果可微分函数在点处沿该点到的方向导数是，沿该点到的方向导数是试求：（1）、函数在该点

6、的梯度（2）、函数从该点到点的方向导数解：，解得，所以（2）、所以10、设求及解：168.8习题1、求函数的极值解：联立解得，于是得，且，所以有极大值2、求函数的极值解：联立解得，于是得，且，所以有极小值3、求函数的极值解：联立解得解得16于是得，且，所以有极大值4、求函数的极值解：联立解得于是得，且，所以有极大值于是得，且，所以有极小值于是得点不是极值点同理点不是极值点1、要造一个容积为无盖长方体水箱，应该如何选择长、宽、高，能使材料最省？解：设长、矿、高为于是得令16推出，于是解得所以当时表面积最小，材料最省。7、求旋转抛物面与平面之间的最短距离解：令8

7、、在平面上求一点，使它到直线的距离的平方和到平面距离的平方的和最小解：设所求的点为于是到的距离的平方为，到的距离的平方为，目标函数为解得：，且，所以在点取极小值。169、将周长为的矩形绕它的一边旋转而构成圆柱体，问矩形的边长为多少时，圆柱体体积最大？解：设矩形的边为则所以当矩形的边长为时圆柱体体积最大。10、求内界于椭球的长方体体积的最大值（各表面与坐标面平行）解：设长方体的长、宽、高依次为则令第八章习题解答完毕2008年4月1416