2012届高考数学第一轮两角和与差、二倍角的公式专项复习教案

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1、2012届高考数学第一轮两角和与差、二倍角的公式专项复习教案　　4.3两角和与差、二倍角的公式（二）　　●知识梳理　　1.在公式S（α+β）、C（α+β）、T（α+β）中，当α=β时，就可得到公式S2α、C2α、T2α，在公式S2α、C2α中角α没有限制在T2α中，只有当α≠+且α≠kπ+时，公式才成立.　　2.余弦二倍角公式有多种形式即cos2α=cos2α－sin2α=2cos2α－1=1－2sin2α.变形公式sin2α=，cos2α=.它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂作用.　　●点击双基　　1.下列各式中，值为的是　　A.sin15°cos15°　

2、　　B.2cos2－1　　C.　　　D.　　解析：=tan45°=.　　答案：D　　2.设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，c=，则a、b、c的大小关系是　　A.a＜b＜c　　B.a＜c＜b　　C.b＜c＜a　　D.b＜a＜c　　解析：a=sin59°，c=sin60°，b=sin61°，∴a＜c＜b.　　答案：B　　3.若f（tanx）=sin2x，则f（－1）的值是　　A.－sin2　　B.－1　　C.　　D.1　　解析：f（－1）=f［tan（－）］=－sin=－1.　　答案：B　　4.（2005年春季上海，13）若cosα=

3、，且α∈（0，），则tan=____________.　　解析一：由cosα=，α∈（0，），得sinα==，　　tan=====.　　解析二：tan===.　　答案：　　5.（2005年春季北京，11）已知sin+cos=，那么sinθ的值为____________，cos2θ的值为____________.　　解析：由sin+cos=，得1+sinθ=，sinθ=，　　cos2θ=1－2sin2θ=1－2•=.　　答案：　　　●典例剖析　　【例1】试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值，若x∈［0，］呢？　　剖析：注意sinx

4、+cosx与sinx•cosx之间的关系，进行换元可将原函数转化成一元二次函数来解.　　解：令t=sinx+cosx=sin（x+）∈［－，］，则y=t2+t+1∈［，3+］，即最大值为3+，最小值为.当x∈［0，］时，则t∈［1，］，此时y的最大值是3+，而最小值是3.　　评述：此题考查的是换元法，转化思想，在换元时要注意变量的取值范围.　　【例2】已知sin（x－）cos（x－）=－，求cos4x的值.　　剖析：4x为2x的二倍角，2x为x的二倍角.　　解：由已知得sin（x－－）cos（x－）=－，∴cos2（x－）=.　　∴sin2x=cos（－2x）=

5、2cos2（－x）－1=－.　　∴cos4x=1－2sin22x=1－=－.　　【例3】已知α为第二象限角，cos+sin=－，求sin－cos和sin2α+cos2α的值.　　解：由cos+sin=－平方得1+2sincos=，即sinα=，cosα=－.　　此时kπ+＜＜kπ+.　　∵cos+sin=－＜0，又sincos=＞0，　　∴cos＜0，sin＜0.∴为第三象限角.　　∴2kπ+＜＜2kπ+，k∈Z.∴sin＜cos，即sin－cos＜0.　　∴sin－cos=－=－，　　sin2α+cos2α=2sinαcosα+1－2sin2α=.　　评述：由

6、三角函数值判断的范围是关键.　　●闯关训练　　夯实基础　　1.已知f（x）=，当θ∈（，）时，f（sin2θ）－f（－sin2θ）可化简为　　A.2sinθ　　B.－2cosθ　C.－2sinθ　D.2cosθ　　解析：f（sin2θ）－f（－sin2θ）=－　　=｜sinθ－cosθ｜－｜sinθ+cosθ｜.　　∵θ∈（，），∴－1＜sinθ＜－＜cosθ＜0.　　∴cosθ－sinθ＞0，cosθ+sinθ＜0.　　∴原式=cosθ－sinθ+cosθ+sinθ=2cosθ.　　答案：D　　2.（2005年春季上海，14）在△ABC中，若==，则△ABC是

7、　　A.直角三角形　　B.等边三角形　　C.钝角三角形　　D.等腰直角三角形　　解析：由=，得=.　　又=，∴=.　　∴=.∴sinAcosB=cosAsinB，sin（A－B）=0，A=B.同理B=C.　　∴△ABC是等边三角形.　　答案：B　　3.若8cos（+α）cos（－α）=1，则sin4α+cos4α=_______.　　解析：由已知得8sin（－α）cos（－α）=1，　　∴4sin（－2α）=1.∴cos2α=.　　sin4α+cos4α=（sin2α+cos2α）2－2sin2αcos2α=1－sin22α=1－（1－cos22α）　　=1－（

8、1－）=1－×=.　　答