向量法证明垂直

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1、向量法证明垂直线线垂直、线面垂直、面面垂直垂直－－向量法证明题型一证明线线垂直【例1】规律方法将线线垂直问题转化为向量垂直问题后，注意选择基向量法还是坐标法，熟练掌握证明线线垂直的向量方法是关键．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.题型二证明线面垂直【例2】法二如图取D为坐标原点，DA、DC、DD1所在的直线分别作x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设正方体棱长为2，则O(1，1，0)，A1(2，0，2)，G(0，2，1)，B(2，2，

2、0)，D(0，0，0)，而OB∩BG＝B，且A1O⊄面GBD，∴OA1⊥面GBD.法三同方法二建系后，设面GBD的一个法向量为n＝(x，y，z)在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.题型三证明面面垂直【例3】∵∠BCD＝90°，∴CD⊥BC.又AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.又AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC，在正棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且

3、BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面GEF⊥平面PBC；【变式3】证明如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA、PB、PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．令PA＝PB＝PC＝3，则A(3，0，0)、B(0，3，0)、C(0，0，3)、E(0，2，1)、F(0，1，0)、G(1，1，0)，P(0，0，0)．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱BB1的中点，在棱DD1上是否存在点P，使MD⊥平面PAC?误区警示审题不清致误【示例】解题时一定要看清题目条件是在“棱”DD1上探求一

4、点，而不是在其延长线上．[正解]由以上步骤得x＝2，∵0≤x<1，∴不存在点P，使MD⊥平面PAC.解答数学题，必须根据题目的特征和给出的信息或启示，充分运用条件，达到尽可能满足结论需要的要求．为此，通过审题全面掌握题意就成了解题的基础．审题时必须要认真仔细，注意隐含条件的挖掘，谨防出错．