利用空间向量证明垂直关系

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1、利用空间向量证明垂直关系主讲教师：巫宇霞【知识概述】利用空间向量证明垂直关系设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则线线垂直：l⊥ma⊥ba·b=0；线面垂直：l⊥αa//ua=ku；面面垂直：α⊥βu⊥vu·v=0.【学前诊断】1.[难度]易已知空间四边形中，，，求证：．2．[难度]易如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD．证明：AB⊥平面VAD．3．[难度]中正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1

2、FD1.4数学·选修2-1【经典例题】例1.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=600，∠BCA=900，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.求证：BC⊥平面PAC.例2．在圆锥PO中，已知，⊙O的直径AB=2，C是AB弧的中点，D为AC的中点．证明：平面平面PAC．例3．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，，当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.例4.如图,已知平行六面体的底面ABCD是菱形，且，当的值为多少时能使？请给出证明.4数学·选修2-1例5.如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为

3、BC的中点，平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2，在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由.【本课总结】1.证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直.2.证明线面垂直的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；②证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直.3.证明面面垂直的方法：①转化为线线垂直、线面垂直的处理；②证明两个平面的法向量互相垂直.【活学活用】1.[难度]易如图，已知正三棱柱的各棱长都是4，是的中点，动点在侧棱

4、上，且不与点重合．当4数学·选修2-1=1时，求证：⊥.2.[难度]中如图，在圆锥中，已知=，⊙O的直径,是的中点，为的中点．证明：平面平面;3．[难度]难如图，在四棱锥中，，底面是菱形，.(Ⅰ)求证：;（Ⅱ）若，求与所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面与平面垂直时，求的长.4数学·选修2-1