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《高二数学竞赛培训讲义-平面向量的基本运算及应用(无答案)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、平面向量的基本运算及应用一、知识回顾1.向景的运算:加法:AB+BC=AC;设6/=(6,),,),石=(x2,y2)贝1J“+5=(6+x2,y+y2)减法:AB-AC=CB;设《=0^,}0,/?=(又2,y2)则《-/?=(&—易,j,-y2)实数与向量的积:向量么与Z的关系;设5=(x,y),则/^=(/k,A>,)(Ae/?)Ia=y]x2+y2,
2、
3、=
4、/I
5、•
6、“
7、a=aa=a
8、2向景的数景积:a-b=a-b'cos0(<9是5与6的夹角);设《=(x,,乃),石=(易,y2)Hija-Z>=
9、x,x2+y,y22.向量的关系:①不等关系:\a-b\<a±b<a+b\a^b<a-b(注意等号的条件)对于n维向量5=(xpx2,…,人),石=(>,Py2,…,夂)同样有化简即为柯西不等式:,(x2px22,",<)(A/w2”)之(七W…+'y,,)2.对于任意n个向%,•••%,冇w...+人“2+PI②设“=(X】,)0,办=(x2,y2),/?关0则“匚“=又/?,aQb<=>x,js—久2)=06/丄/)<=>6p/?=0;6Z丄/?<=>十%;^=03.平Ui內虽的基木定
10、理:如果足同一平面内的不共线叫量,那么对于这个平面内的任一昀量G有且只有一对实数人//,使“二乂^+//e2相关结论:如果$,e2是同一平面内的不共线
11、4景,H.=0,则2=//=0点◦、A、B、C在M—平浙内,A、B、C共线的充要条件是:OA=xOB+)^OC(x+y=l)4.常用公式:(<2±Z?)^=a±2a-b+b-2-2(a+b)a-b)=a-bAAZ?C中,M为BC边的中点,G为j£心,则AB+BC+C4=0;AM=1(AB+AC);GA+GB+GC=O25.线段的定比分点1)点P分有向线段@所成的比设P2
12、是直线/上的两点,点P是/上不同于P2的任lx2意一点,则存在一个实数/I,使尸P=^PP2,/I叫做点尸分有向线段CP,所成的比.2)定比分点公式..1+乂',=乂+奴[-1+2'(5)平移公式设点按向萤5=(/1,幻平移后得到点广(/,/),»OP=OP+a^x'=x+h,y=y+k.曲线y=/(x)按向景5=(/2,幻平移后所得的曲线的函数解析式为:y-k=f(x-h).二、基本训练1.(集训试题)已知5=(COs2,sin2),OA=a-b,OB=a^b,若AOAB是以0为直33角顶点的等腰直角三角形,则AOAB
13、的曲积等于2.(2004全国)设O点在MBClAl部,且有況+2涵+3泥=6,/则MSC的面积与MOC的而积的比为(2005全国)空间四点A、B、C、D满足
14、而
15、=3,
16、記
17、=7,
18、55
19、=11,
20、況
21、=9,则记•而的取值有个.(2006吉林预赛)己知尸为AABC内一点,且满足3石+4而+5元=0,那么E'—2—1——3.(2006陕西赛区预赛)设P为AABC内一点,且=二A5+—AC,则AABP的面55积与AABC的而积之比为4.(2005年浙江)己知“,石是两个相互垂直的单位向量,而
22、c
23、=13,c•«=3,c•^
24、=4,则对于任意实数&,£2,p-/j—的最小值是S^PBC-S/pcA=7.(2006年南昌市)等腰直角三角形的直角顶点A对应的向:W:为A(l,0),重心G对应的向量为G(2,0),则三角形另二个顶点6、C对应的向量为8.(2006年浙江省预赛)手表的表面在一平面上,整点1,2,…,12这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上。从整点z’到整点(f+1)的14量记作则2’1’2•’12’1•’1’2=三、例题分析例1、半径为1的圆◦内接AABC,且35^+4%+5没=~0.⑴求数量积~OAOC,OBOC,⑵求AAB
25、C的面积.例2、己知向量7//,6/2,幻,山,^5,^6,幻,其屮任何3个向量之和的长度都与其余4个向量之和松度相等,求证:tZ/+幻+6L/+“5+“6+“7=0•例3、如图,设G是AOAB的重心,过G的直线与OA、OB分別交于P和Q,己知OP=hOA,OQ=kOB,AOAB和AOPQ的面积分别为S和T,114SS求证:(If+E=3;⑵寸例4、运用向量的方法求cos5°+cos77°+cos!49°+cos221°+cos293°的位.例5、平而上有两个三角形△八$
26、(:
27、和^人必2(:2,它们的重心分别为O,、O
28、2,求证:3oTo2^a7a2+b7b2+
29、C;C2
30、.例6、⑴已知AABC的外心为O、垂心为H,求证:OH=OA+OB+OC.⑵求证:AABC的外心为O、重心G、垂心H在一直线上,且OG:GH=1:2.AD例7、己知AABC内接于©O,AB=AC,D为AB的中点,E为AACD的重心。求证:OE丄CD.例