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《高二数学竞赛培训讲义-平面向量的基本运算及应用(无答案)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、平面向量的基本运算及应用一、知识回顾1.向景的运算：加法：AB+BC=AC;设6/=（6，），,），石=（x2，y2）贝1J“+5=（6+x2，y+y2）减法：AB-AC=CB;设《=0^，｝0，/?=（又2，y2）则《-/?=（&—易，j,-y2）实数与向量的积：向量么与Z的关系；设5=（x，y），则/^=（/k，A＞，）（Ae/?）Ia=y]x2+y2，
2、
3、=
4、/I
5、•
6、“
7、a=aa=a
8、2向景的数景积：a-b=a-b'cos0（＜9是5与6的夹角）；设《=（x,,乃），石=（易，y2）Hija-Z>=
9、x,x2+y,y22.向量的关系:①不等关系:\a-b\＜a±b＜a+b\a^b＜a-b（注意等号的条件）对于n维向量5=（xpx2,…,人），石=（＞，Py2,…，夂）同样有化简即为柯西不等式:，（x2px22，"，＜）（A/w2”）之（七W…+'y,,）2.对于任意n个向%，•••％，冇w...+人“2+PI②设“=(X】，)0，办=(x2，y2)，/?关0则“匚“=又/?，aQb<=>x,js—久2)=06/丄/)<=>6p/?=0;6Z丄/?<=>十％；^=03.平Ui內虽的基木定
10、理：如果足同一平面内的不共线叫量，那么对于这个平面内的任一昀量G有且只有一对实数人//,使“二乂^+//e2相关结论：如果$，e2是同一平面内的不共线
11、4景，H.=0,则2=//=0点◦、A、B、C在M—平浙内，A、B、C共线的充要条件是：OA=xOB+）^OC（x+y=l）4.常用公式：(<2±Z?)^=a±2a-b+b-2-2(a+b)a-b)=a-bAAZ?C中，M为BC边的中点，G为j£心，则AB+BC+C4=0;AM=1（AB+AC）;GA+GB+GC=O25.线段的定比分点1）点P分有向线段@所成的比设P2
12、是直线/上的两点，点P是/上不同于P2的任lx2意一点，则存在一个实数/I，使尸P=^PP2，/I叫做点尸分有向线段CP，所成的比.2）定比分点公式..1+乂'，=乂+奴[-1+2'（5）平移公式设点按向萤5=（/1，幻平移后得到点广（/，/）,»OP=OP+a^x'=x+h,y=y+k.曲线y=/（x）按向景5=（/2，幻平移后所得的曲线的函数解析式为：y-k=f（x-h）.二、基本训练1.（集训试题）已知5=（COs2，sin2）,OA=a-b,OB=a^b,若AOAB是以0为直33角顶点的等腰直角三角形，则AOAB
13、的曲积等于2.（2004全国）设O点在MBClAl部，且有況+2涵+3泥=6，/则MSC的面积与MOC的而积的比为（2005全国）空间四点A、B、C、D满足
14、而
15、=3，
16、記
17、=7,
18、55
19、=11,
20、況
21、=9,则记•而的取值有个.（2006吉林预赛）己知尸为AABC内一点，且满足3石+4而+5元=0，那么E'—2—1——3.（2006陕西赛区预赛）设P为AABC内一点，且=二A5+—AC,则AABP的面55积与AABC的而积之比为4.（2005年浙江）己知“，石是两个相互垂直的单位向量，而
22、c
23、=13,c•«=3,c•^
24、=4,则对于任意实数&,£2,p-/j—的最小值是S^PBC-S/pcA=7.（2006年南昌市）等腰直角三角形的直角顶点A对应的向:W:为A（l,0），重心G对应的向量为G（2,0），则三角形另二个顶点6、C对应的向量为8.（2006年浙江省预赛）手表的表面在一平面上，整点1,2,…，12这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上。从整点z’到整点（f+1）的14量记作则2’1’2•’12’1•’1’2=三、例题分析例1、半径为1的圆◦内接AABC,且35^+4%+5没=~0.⑴求数量积~OAOC,OBOC,⑵求AAB
25、C的面积.例2、己知向量7//，6/2，幻，山，^5，^6，幻，其屮任何3个向量之和的长度都与其余4个向量之和松度相等，求证：tZ/+幻+6L/+“5+“6+“7=0•例3、如图，设G是AOAB的重心，过G的直线与OA、OB分別交于P和Q,己知OP=hOA,OQ=kOB,AOAB和AOPQ的面积分别为S和T，114SS求证：（If+E=3;⑵寸例4、运用向量的方法求cos5°+cos77°+cos!49°+cos221°+cos293°的位.例5、平而上有两个三角形△八$
26、（：
27、和^人必2（：2,它们的重心分别为O,、O
28、2,求证:3oTo2^a7a2+b7b2+
29、C；C2
30、.例6、⑴已知AABC的外心为O、垂心为H,求证：OH=OA+OB+OC.⑵求证：AABC的外心为O、重心G、垂心H在一直线上，且OG:GH=1:2.AD例7、己知AABC内接于©O，AB=AC,D为AB的中点，E为AACD的重心。求证:OE丄CD.例
