第十四讲 枚举法和其运用

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1、第十四讲枚举法及其运用学法探讨我们在平常的数学学习过程中，遇到的数学问题，一般都可以列出算式，然后求出结果。但在数学竞赛或日常生活中却经常会遇到一些有趣的问题，由于找不到计算的算式，似乎无从下手。但是，如果问题所述的情况或满足问题要求的结果能够被一一列举出来，或者能够被分类列举出来，那么我们就应该运用枚举法来解决这类问题。一般地，根据问题要求，将符合已知信息的结果不重复、不遗漏地一一列举出来；或者把问题分为有限种情况，然后将各种情况中符合已知信息的的结果不重复、不遗漏地一一列举出来，以达到解决整个问题的目的。这种分析、解决问题的方法，称之为枚举法，我们也可以通俗地称“枚举法

2、”为举例子。枚举法是一种常见的数学方法。如果遇到要枚举的情况太多，容易导致重复或遗漏掉一些情况时，我们要注意合理分类、有序思考。枚举法是加法原理和乘法原理的基础。关于“枚举法及其运用”你还有什么需要补充？请你写在下面：例题选讲【例1】A、B、C、D四个同学进行乒乓球单打比赛，每两人之间都要赛一场，四个人一共要比赛多少场？【分析】因为参加比赛的人不多，我们可以将每场比赛一一列举出来，如图14-1所示；我们也可以用四个点代表四位同学，如果某两个同学之间进行了一场比赛，我们就在代表这两个同学的两点之间连一条线段，最后计算有多少条线段，就表示进行了多少场比赛，如图14-2所示。AB

3、CD图14-1ADCB图14-2由图易知，四个人一共要比赛6场。你能将6场比赛都列出来吗？【解答】【体会】在解决这个问题的过程中，你有什么体会？有什么需要补充？请你写在下面：【练习14―1】A、B、C、D、E五个同学进行乒乓球单打比赛，每两人之间都要赛一场，五个人一共要比赛多少场？【例2】小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。若两枚骰子的点数和为7，则小明胜；若两枚骰子的点数和为8，则小红胜。试判断他们两人谁获胜的可能性大。【分析】将两枚骰子的点数和分别为7与8的各种情况都列举出来，就可得到问题的结论。用a表示第一枚骰子的点数；用b表示第二枚骰子的点数。　　a+

4、b=7的情况共有6种，它们是：　　1＋6，2＋5，3＋4，4＋3，5＋2，6＋1。　　a+b=8的情况共有5种，它们是：　　2＋6，3＋5，4＋4，5＋3，6＋2。　　所以，小明获胜的可能性大。　　也有人这样认为，因为出现7的情况有：1＋6，2＋5，3＋4三种，出现8的情况有：2＋6，3＋5，4＋4三种，所以两人获胜的可能性一样大。你认为呢？【解答】【体会】在解决这个问题的过程中，你有什么体会？有什么需要补充？请你写在下面：【练习14―2】现有10块糖，如果要求每天至少吃3块，吃完为止，那么一共有多少种不同的吃法？【例3】现有面值为5角、8角的邮票各两枚。用这些邮票能付多少

5、种不同的邮资？【分析】我们可根据使用邮票的数量，分成四类（一枚、二枚、三枚、四枚）进行枚举：一枚:5角、8角；二枚:10角、13角、16角；三枚:18角、21角；四枚:26角。一共可以付多少种不同的邮资就一目了然了。【解答】【体会】在解决这个问题的过程中，你有什么体会？有什么需要补充？请你写在下面：【练习14―3】现有三张数字卡片1、2、3，用这些卡片可以组成多少个不同的数？分别是哪些个数？【例4】请你数一数，右图中一共有多少个三角形。【分析】图中的三角形形状、大小都不相同，位置也很凌乱，不好数清楚。为了避免数数过程中的遗漏或重复，我们将图形的各部分编上号（见下图），123

6、45678然后按照图形的组成规律，把三角形分成单个的、由两部分组成的、由3部分组成的、……、再一类一类地枚举出来。　　单个的三角形有6个：1，2，3，5，6，8。　　由两部分组成的三角形有4个：　　（1，2）、（2，5）、（4，5）、（6，7）。　　由三部分组成的三角形有1个：（6，7，8）。　　由四部分组成的三角形有2个：　　（1，3，4，6）、（2，5，7，8）。　　由八部分组成的三角形有1个：　　（1，2，3，4，5，6，7，8）。　　那么，图中一共有多少个三角形呢？【解答】【体会】对于这类图形的计数问题，按由一部分组成、由两部分组成、由三部分组成……进行分类型计数是

7、最常用的方法。在解决这个问题的过程中，你还有什么体会？还有什么需要补充？请你写在下面：【练习14―4】请你数一数，下图中一共有多少三角形？【例5】甲、乙两人比赛乒乓球，先胜三局的人算赢，直到决出胜负为止。请问一共有多少种可能发生的情况？【分析】如果遇到要枚举的情况太多，容易导致重复或遗漏掉一些情况时，我们除了要合理分类、有序思考以外，最好引用一种工具——树枝图。先考虑甲胜第一局的情况,列树枝图如下:乙甲乙甲乙甲乙甲甲乙乙甲甲甲乙甲乙甲乙容易看出，甲胜第一局的情况一共有10种情况。同理,乙胜第一局也有10种情况,合计