奥数：小学奥数系列：第十讲枚举法

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1、第十讲枚举法例1如下图所示，已知长方形的周长为20厘米，长和宽都是整厘米数，这个长方形有多少种可能形状?哪种形状的长方形面积最大?(边长为l厘米的正方形的面积叫做1平方厘米)．解：由于长方形的周长是20厘米，可知它的长与宽之和为10厘米．下面列举出符合这个条件的各种长方形．(注意，正方形可以说成是长与宽相等的长方形)．下面把5种长方形按实际尺寸大小一一画出来，见下面图(1)～(5)．例2如右图所示，ABCD是一个正方形，边长为2厘米，沿着图中线段从A到C的最短长度为4厘米．问这样的最短路线共有多少条?请一一画出来．解：将各种路线一一列出，可知共6条，见下图

2、．注意，如果题中不要求将路径一一画出，可采用如右图所示方法较为便捷．图中交点处的数字表示到达该点的路线条数，如O点处的数字2，表示由A到0有2条不同的路径，见上图中的(1)和(2)；又H点处的数字3的意义也如此，见上图中的(1)、(2)、(3)可知有3条路径可由A到H．仔细观察，可发现各交点处的数字之间的关系，如O点的2等于F点和E点的数字相加之和，即1+1=2，又如，C点的6等于G点和H点的数字相加之和，即3+3=6．例3在10和31之间有多少个数是3的倍数?解：由尝试法可求出答案：3×4=123×5=153×6=183×7=213×8=243×9=27

3、3×10=30可知满足条件的数是12、15、18、21、24、27和30共7个．注意，倘若问10和1000之间有多少个数是3的倍数，则用上述一一列举的方法就显得太繁琐了，此时可采用下述方法：10÷3=3余1，可知10以内有3个数是3的倍数；1000÷3=333余1，可知1000以内有333个数是3的倍数；333-3=330，则知10～1000之内有330个数是3的倍数．由上述这些例题可体会枚举法的优点和缺点及其适用范围．例4两个整数之积为144，差为10，求这两个数?解：列出两个数积为144的各种情况，再寻找满足题目条件的一对出来：123468912144

4、72483624181612可见其中差是10的两个数是8和18，这一对数即为所求．例512枚硬币的总值是1元，其中只有5分和1角的两种，问每种硬币各多少个?解：列举出两种硬币的可能搭配：可见满足题目要求的搭配是：四个5分币，八个l角币．例6小虎给4个小朋友写信．由于粗心，在把信纸装入信封时都给装错了．4个好朋友收到的都是给别人的信．问小虎装错的情况共有多少种可能?解：把4封信编号：1，2，3,4．把小朋友编号，友,友,友，友.并假定1号信是给友写的，2号信是给友写的，3号信是给友写的，4号信是给友写的：再把各种可能的错装情况列成下表：所以，共有9种可能．说

5、明：如第一种错收情况是友得2号信，友得了1号信，友得了4号信，友得了3号信．习题十1．一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整米数，问：①这个长方形的面积有多少可能值?②面积最大的长方形的长和宽是多少?2．有四种不同面值的硬币各一枚，它们的形状也不相同，用它们共能组成多少种不同钱数?3．三个自然数的乘积是24，问由这样的三个数所组成的数组有多少个?如(1，2，12)就是其中的一个，而且要注意数组中数字相同但顺序不同的算作同一数组，如(1，2，12)和(2，12，1)是同一数组．4．小虎给3个小朋友写信，由于粗心，把信装入信封时都给装错了，结果3个小朋

6、友收到的都不是给自己的信，请问小虎错装的情况共有多少种可能?5．一个学生假期往A、B、C三个城市游览．他今天在这个城市，明天就到另一个城市．假如他第一天在A市，第五天又回到A市．问他的游览路线共有几种不同的方案?6．下图中有6个点，9条线段，一只甲虫从A点出发，要沿着某几条线段爬到F点．行进中甲虫只能向右、向下或向右下方运动．问这只甲虫有多少种不同的走法?7．小明有一套黄色数字卡片1、2、3，有一套蓝色数字卡片1、2、3．一天他偶然用卡片做了下面的游戏：把不同色的卡片交叉配对，一次配成3对，然后把每对卡片上的黄蓝数字相乘之后再相加求和，你知道他共找到了多少

7、种配对相乘求和的方式吗?比如说下面是其中一种：8．五个学生友,友,友，友，友一同去游玩，他们将各自的书包放在了一处．分手时友带头开了个玩笑，他把友小朋友的书包拿走了，后来其他的小朋友也都拿了别人的书包．试问在这次玩笑中故意错拿书包的情形有多少种不同方式?习题十解答1．解：这个长方形的长和宽之和是22÷2=11(米)，由长方形的面积=长×宽，可知：由上表可见面积最大的长方形的长是6米、宽是5米，面积是30平方米．猜想：由本讲的例l和习题1这两题来看，周长一定的所有长方形中，长和宽相等或相近那个长方形面积最大．这是有名的“等周问题”的特例．2．解：把各种不同的

8、组合及其对应的钱数列表枚举如下：数一数可知，能组成15种不同的钱数