奥数：小学奥数系列：第09讲 枚举法

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1、第09讲计数问题第01讲枚举法例1如图9—1，有八张卡片，上面写着自然数1至8．从中取出三张，要使三张卡片上的数字之和为9．问有多少种不同的取法?答案3种．分析三个数之和为9，则这三个数中任两个数之和必小于9，依据这个原则进行枚举就可以．而且三个数中不能写有7、8，否则三数和必大于9．详解由于三个数和为9，且最小二个数可取1和2，所以最大的数只可为6．这样依据最大的数从6不断往下取来枚举：6、2、1；5、3、1；4、3、2．共有3种不同取法，所以答案为3．评注通常解题时，应从条件推出一些基本结论，这样可以减少枚举的范围，得出结论．例2现有1分、2分和5分的硬币各四枚，用其中

2、的一些硬币付2角3分钱，一共有多少种不同的支付方法?答案5种．分析由于要付2角3分钱，而其中1分、2分的硬币加起来共3×4=12分，因此必须用上5分硬币，而且至少要3枚5分硬币，否则最多只能付2角2分钱(因为12+2×5=22分)．详解由于所有1分、2分硬币加起来共1角2分，因而至少要另外付3个5分硬币．所以分用去4个5分硬币和3个5分硬币两种情况枚举：①先付3个5分便币，再用1分、2分币付剩下的8分钱．这时有用4个2分、3个2分和2个1分、2个2分及4个1分共3种情形．②先付4个5分硬币，再用1分、2分付剩下的3分钱．这时有用1个2分1个1分、3个1分共2种情形．所以，一

3、共有5种不同的支付方法．例3有3个工厂共订300份《吉林日报》，每个工厂最少订99份，最多101份．问：一共有多少种不同的订法?答案7种．分析3个工厂共订300份，最少订99份，这里先把99份作为基本订数，因而相当于把剩下的3份在3个工厂间分配一下．又由于最多101份，也即是一个工厂最多再分配2份．这样再按0、1、2枚举即可．详解先考虑用每个工厂订99份为基数，剩下的3份报纸分配在3个工厂中可以有以下几种方式：0、1,2；0、2、1；1、0、2；1、2,0；1、1、1；2、0、1；2、1、0．共7种的订法．对应实际份数为：99、100、101；99、101、100；100、

4、99、101；100、101、99；100、100、100；101、99、100；101、100、99．一共有7种不同的订法．’例4有25本书，分成6份，每份至少1本，且每份的本数都不相同．问有多少种分法7．答案5种分法．分析这里每份至少1本且每份的本数都不相同，这样6份至少有1+2+3+4+5+6=21本书；若最少一份为2本，则至少有2+3+4+5+6+7=27本书．因此最少1份至多是1本书．这样可以从第二少的份数入手．详解从上面分析知，把6份的书数从小到大排列，最少一份为1本，因此下面的枚举应从第二小的本数来入手．若第二小的本数是3本，则6份本数至少有1+3+4+5+6

5、+7=26本，因此第二小的本数应为2本．这样再枚举如下：1+2+3+4+5+10；1+2+3+4+6+9，1+2+3+4+7+8；1+2+3十5+6+8；1+2+4+5+6+7．上面枚举是按第三本的本数从3到4枚举的．因此一共5种不同分法．说明在枚举时关键是从题意分析找出一个枚举的顺序，有了顺序才能不重不漏．例5甲、乙、丙、丁四个同学排成一行，从左到右数，如果甲不排在第一位置上，乙不排在第二位置上，丙不排在第三个位置上，丁不排在第四个位置上，那么不同的排法共有多少种?答案9种．分析根据题意，由于甲不在第一位置上，这样甲只能在二、三、四位置上，从而第一位上必能放乙、丙、丁这三

6、种情形。然后再根据第二位置上的条件来进行枚举即可．详解按第一位置上放乙、丙、丁三种情形．若乙在第一位置上，则有乙甲丁丙、乙丁甲丙、乙丙丁甲三种情形．若丙在第一位置上，则有丙甲丁乙、丙丁甲乙、丙丁乙甲，共三种情形．若丁在第一位置上，则有丁甲乙丙、丁丙甲乙、丁丙乙甲、三种情形．，因此三种情形一共是9种．例6一个两位数乘以5，所得的积是一个三位数，且这个三位数的个位与百位数字的和恰好等于十位上的数字．问一共有多少个这样的数?答案8个．分析这个三位数设为，且可以被5整除，由被5整除数特征知c=0或5．而且由于它是由一个二位数乘以5而得到，因此还应小于500．由条件b=a+C也可以确

7、定出b的值个数．详解设三位数为．，由分析知5，c为0或5．当c=0时，b=a+c，比500小，则a=1、2、3、4，对应b=1、2、3、4．共4种．若C=5时，a=1、2、3、4，对应b=6、7、8、9．也是4种情形．因此一共是8种情形．例7甲、乙两人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢．如果没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止．那么一共有多少种可能的情况?答案14种．分析为方便枚举，我们用甲表示甲赢，用乙表示乙赢．由于有二种大情形可决输赢，一是胜头二局，一是胜三局，因而枚举应分这两大类进行．然后再设甲胜出、