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1、例1.如图1，P是正三角形ABC内的一点， 且PA=6，PB=8，PC=10，求∠APB的度数。解：如图2，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，把△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AP′B，由旋转的性质，AP′=AP，P′B=PC=10，∠PAP′=60°，∴△APP′是等边三角形，∴∠APP′=60°，PP′=PA=6，∵PP′2+PB2=62+82=100=P′B2，∴△BPP′是直角三角形，∠BPP′=90°，∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=60°+90°=150°，故∠APB的度数是150
2、°．（1）（2）例2：如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形．（2）答：当α=150°时，△AOD是直角三角形．理由是：∵△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°，又∵△
3、COD是等边三角形，∴∠ODC=60°，∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=90°，即△AOD是直角三角形．（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°，∴190°﹣α=α﹣60°，∴α=125°；②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．∵∠OAD=180°﹣（∠AOD+∠ADO）=180°﹣（190°﹣α+α﹣60°）=50°，∴α﹣60°=50°，∴α=110°；③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．∵∠OAD=360°﹣110°﹣60°
4、﹣α=190°﹣α，∠AOD==120°﹣，∴190°﹣α=120°﹣，解得α=140°．综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．例3：如图（1），P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3（1）∠APB=______．（2）求此正方形ABCD面积。（1）（2）（3）解：如图（2）将△APB绕B点顺时针旋转90°并连接PE，∵将△APB绕B点顺时针旋转90°，得△BEC，∴△BEC≌△BPA，∠APB=∠BEC，∴△BEP为等腰直角三角形，∴∠BEP=45°，∵PB=2，∴P
5、E=2∵PC=3，CE=PA=1，∴PC=PE+CE，∴∠PEC=90°，∴∠APB=∠BEC=∠BEP+∠PEC=45°+90°=135°．222（2）如图（3）四边形ABCD为正方形,PA=1,PB=2,PC=3,把△PAB绕A点逆时针旋转90°得△EAD,把△CPB绕C点顺时针旋转90°得△CFD,连PE,PF,如图,∴∠1=∠2,∠3=∠4,而∠1+∠3=90°,∴∠2+∠4=90°,而∠ADC=90°,∴∠EDF=180°,即E,D,F共线；由旋转的性质得到△APE,△CPF均为等腰直角三角形,并且ED=PB=2
6、,DF=PB=2,∴S△APE=0.5×1×1=0.5；S△CPF=0.5×3×3=4.5,在△PEF中,PE=√2,PF=3√2,EF=4,∴PF2=PE2+EF2,∴△PEF为直角三角形,∠PEF=90°,∴S△PEF=0.5×EP×EF=0.5×√2×4=2√2∴S正方形ABCD=S五边形APCFE=S△PEF+S△APE+S△CPF=√2+5．例:4：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为(0°＜＜180°)，得到△A1B1C．(1)如图1，当AB∥CB1时，设A1
7、B1与BC相交于点D．证明：△A1CD是等边三角形；(2)如图2，连接AA1、BB1，设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1、S2．求证：S1∶S2＝1∶3；(3)如图3，设AC的中点为E，A1B1的中点为P，AC＝a，连接EP．当＝°时，EP的长度最大，最大值为解：如图，连接CP，当△ABC旋转到E、C、P三点共线时，EP最长，此时θ=∠ACA′=120°，∵∠B′=30°，∠A′CB′=90°，∴A′C=AC=1/2A′B′=2，∵AC中点为E，A′B′中点为P，∠A′CB′=90°∴CP=1/2A′B′=2，EC=
8、1/2×2=1，∴EP=EC+CP=1+2=3．故答案为：120；3．例5；如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBE.⑴求∠DCE的度数；⑵当AB=4，AD∶DC=1∶3时，求DE的长.解：（1）∵△CBE是由△ABD旋转得到的，∴
