全国初中数学竞赛辅导（初2）第18讲 归纳与发现

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1、第十八讲归纳与发现　　归纳的方法是认识事物内在联系和规律性的一种重要思考方法，也是数学中发现命题与发现解题思路的一种重要手段．这里的归纳指的是常用的经验归纳，也就是在求解数学问题时，首先从简单的特殊情况的观察入手，取得一些局部的经验结果，然后以这些经验作基础，分析概括这些经验的共同特征，从而发现解题的一般途径或新的命题的思考方法．下面举几个例题，以见一般．　　例1如图2-99，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边有两个点(相邻两边公用一个点)；第三层每边有三个点，…这个六边形点阵共有n层，试问第n层有多少个点？这个点阵共有多少个点？　　分

2、析与解我们来观察点阵中各层点数的规律，然后归纳出点阵共有的点数．第一层有点数：1；第二层有点数：1×6；第三层有点数：2×6；第四层有点数：3×6；……第n层有点数：(n-1)×6.　　因此，这个点阵的第n层有点(n-1)×6个．n层共有点数为　　　　例2在平面上有过同一点P，并且半径相等的n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆除P点外无其他公共点，那么试问：　　(1)这n个圆把平面划分成多少个平面区域？　　(2)这n个圆共有多少个交点？　　分析与解(1)在图2-100中，设以P点为公共点的圆有1，2，3，4，5个(取这n个特定的圆)，观察平面被它们所

3、分割成的平面区域有多少个？为此，我们列出表18．1．　　由表18．1易知S2-S1=2，S3-S2＝3，S4-S3＝4，S5-S4＝5，……　　由此，不难推测Sn-Sn-1＝n．　　把上面(n-1)个等式左、右两边分别相加，就得到Sn-S1＝2＋3＋4＋…＋n，　　因为S1=2，所以　　下面对Sn-Sn-1=n，即Sn=Sn-1＋n的正确性略作说明．　　因为Sn-1为n-1个圆把平面划分的区域数，当再加上一个圆，即当n个圆过定点P时，这个加上去的圆必与前n-1个圆相交，所以这个圆就被前n-1个圆分成n部分，加在Sn-1上，所以有Sn=Sn-1＋n．　　(2)与

4、(1)一样，同样用观察、归纳、发现的方法来解决．为此，可列出表18．2．　　由表18．2容易发现a1＝1，a2-a1＝1，a3-a2＝2，a4-a3＝3，a5-a4＝4，……an-1-an-2＝n-2，an-an-1＝n-1．　　n个式子相加　　　　注意请读者说明an=an-1＋(n-1)的正确性．　　例3设a，b，c表示三角形三边的长，它们都是自然数，其中a≤b≤c，如果b=n(n是自然数)，试问这样的三角形有多少个？　　分析与解我们先来研究一些特殊情况：　　(1)设b=n=1，这时b=1，因为a≤b≤c，所以a=1，c可取1，2，3，…．若c=1，则得到一

5、个三边都为1的等边三角形；若c≥2，由于a＋b=2，那么a＋b不大于第三边c，这时不可能由a，b，c构成三角形，可见，当b=n=1时，满足条件的三角形只有一个．　　(2)设b=n=2，类似地可以列举各种情况如表18．3．　　这时满足条件的三角形总数为：1+2=3．　　(3)设b=n=3，类似地可得表18．4．　　这时满足条件的三角形总数为：1＋2＋3=6．　　通过上面这些特例不难发现，当b=n时，满足条件的三角形总数为：　　这个猜想是正确的．因为当b=n时，a可取n个值(1，2，3，…，n)，对应于a的每个值，不妨设a=k(1≤k≤n)．由于b≤c＜a＋b，即

6、n≤c＜n＋k，所以c可能取的值恰好有k个(n，n＋1，n＋2，…，n＋k-1)．所以，当b=n时，满足条件的三角形总数为：　　例4设1×2×3×…×n缩写为n！(称作n的阶乘)，试化简：1！×1＋2！×2＋3！×3＋…＋n！×n.　　分析与解先观察特殊情况：　　(1)当n=1时，原式=1=(1＋1)！-1；　　(2)当n=2时，原式=5=(2＋1)！-1；　　(3)当n=3时，原式=23=(3＋1)！-1；　　(4)当n=4时，原式=119=(4＋1)！-1．　　由此做出一般归纳猜想：原式=(n+1)！-1.　　下面我们证明这个猜想的正确性．　　1+原式=1

7、+(1！×1＋2！×2＋3！×3+…+n！×n)　　　　　=1！×2＋2！×2＋3！×3+…+n！×n　　　　　=2！+2！×2＋3！×3＋…+n！×n　　　　　=2！×3+3！×3+…＋n！×n　　　　　=3！+3！×3+…+n！×n＝…　　　　　=n！+n！×n=(n＋1)！，　　所以原式=(n+1)！-1.　　例5设x＞0，试比较代数式x3和x2+x+2的值的大小．　　分析与解本题直接观察，不好做出归纳猜想，因此可设x等于某些特殊值，代入两式中做试验比较，或许能启发我们发现解题思路．为此，设x=0，显然有x3＜x2+x+2．①　　设x=10，则有x3=1

8、000，x2+x＋2=112，所以x3