全国初中数学竞赛辅导（初2）第20讲 类比与联想

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1、第二十讲类比与联想　　类比就是根据两种事物一部分类似的性质，推测这两种事物其他类似性质的推理方法．例如，由分数的性质类似地推测分式的性质；由直线与圆的位置关系推测圆与圆的位置关系；由一次函数、一次方程、一次不等式的某些性质和解法，推测二次函数、二次方程、二次不等式的某些类似的性质与解法等．　　联想是由某种事物而想到其他相关事物的思维活动．当我们遇到一个数学问题时，常常想起与它类似的问题、类似的解法，从而有利于新问题的解决．　　利用类比与联想，常常可以发现新命题和扩展解题思路．　　1．类比与发现　　例1已知：△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，BD是AC边上的中线，E点在AB边上，且

2、ED⊥BD．求△DEA的面积(图2-113)．　　解引CF⊥BA于F，由于BC=AC，所以CF是底边AB上的中线．因为H为△ABC的重心，所以　　因为∠C=∠BDE=90°，所以∠ADE=∠CBH．　　又由∠A=∠BCH=45°，可知△ADE∽△CBH．所以　　　　　类比如果保留例1中等腰三角形诸条件，去掉直角这一特殊性，那么是否会产生类似的命题呢？由此想到例2．　　例2如图2-114．已知△ABC中，∠C=4∠B=4∠A，BD是AC边上的中线，E点在AB上，且∠AED=∠C，S△ABC=1，求S△AED．　　解类似例1的解法，引CF⊥AB于F，交BD于H，显然△ADE不相似于△CBH．

3、但由已知条件∠C=4∠B=4∠A，　　则∠A=∠B=30°，∠C=120°．　　由于CF平分∠C，所以∠ACF＝60°．　　又因为∠AED=∠ACB，∠A=∠A，所以△ADE∽△ABC，　　所以　　由于△AFC中∠AFC=90°，∠A=30°，所以若设CF=x，则　　　　　　　类比如果保留例1中的直角等条件，去掉等腰三角形这一特殊性，可以类似地得到例3．　　例3已知△ABC中∠C=90°，AC=2BC=2，BD是AC边上的中线，CF⊥AB于F，交BD于H(图2-115)．求S△CBH．　　解本题直接求S△CBH有些困难，联想例1、例2中的△ADE，不妨引辅助线DE⊥BD交AB于E．　　由

4、于AC=2BC=2，D是AC的中点，且∠C=∠BDE=90°，所以∠CBH=∠ADE=45°．　　因为CF⊥AB于F，所以∠BCH=∠A．由于BC=AD=1，所以△CBH≌△ADE，　　所以S△CBH=S△ADE.　　因此只要求出S△ADE即可，为此，设DE=x，则　　　　　(2)例3由例1类比而来，最自然的想法是求S△ADE，为增加难度与变换方式获得新命题，故例3反求S△CBH．　　我们知道一个三角形的三边如果是a，b，c，那么就有│b-c│＜a＜b＋c，①　　即三角形任意一边小于其余两边之和，大于其余两边之差．　　我们对①类比：是否有　　存在呢？如果②存在，那么就发现了如下命题(例4

5、)．　　2．联想与解题　　例5a，b为两个不相等且都不为零的数，同时有a2＋pa＋q=0，b2+pb＋q=0，　　　　分析与解由已知条件，联想到方程根的定义，a，b是方程x2＋px+q=0的两个根，由a，b不为零，有　　　　　例6如果(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0，求证：x+z=2y．　　分析与解(1)展开原式有z2-2xz+x2-4(xy-y2-xz+yz)=0，　　合并、配方得(x+z)2-4y(x+z)＋4y2=0，　　即(x+z-2y)2=0，　　所以x+z＝2y．　　(2)如果看已知条件：(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0，　　很像二次方程根的判别式b2-4ac

6、的形式，因此，可联想到方程(x-y)t2＋(z-x)t＋(y-z)＝0(x-y≠0)有二相等实根．由(x-y)+(z-x)+(y-z)=0　　可知1是以上方程的根，再由根与系数关系知　　所以x+z=2y．　　当x=y=0，即x=y时，有x=y=z，所以x+z=2y．　　例7化简　　分析与解这是一个根式的化简问题，分子、分母大同小异，自然联想到应用因式分解，使分子、分母具有公因式，化简就很容易了．　　　　例8图2-116是我国古代数学家赵爽证明勾股定理的“弦图”，其中“弦实”是弦平方的面积，“弦图”以弦为边作正方形(如正方形ABCD)，然后在“弦图”内部作四个直角三角形(如△AHB，△BE

7、C，△CDF，△DAG)．设a，b，c为四个直角三角形的勾、股、弦，则根据“出入相补原理”就有　　即c2=2ab+b2-2ab+a2,　　即c2=a2+b2.　　这是中国古代数学家独立于西方毕达哥拉斯和欧几里得发明的证法．后人沿用“出入相补原理”，也就是割补原理解决了许多数学问题，也创造了“勾股定理”的许多新证法．事实上每位初中同学，学了勾股定理，只要用心思考，一定会用割补法想出更新的证明勾股定理的方法．下面的几例，便是同学们提出的