全国初中数学竞赛辅导（初2）第21讲分类与讨论

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1、第二十一讲分类与讨论　　分类在数学中是常见的，让我们先从一个简单的例子开始．　　有四张卡片，它们上面各写有一个数字：1，9，9，8．从中取出若干张按任意次序排列起来得到一个数，这样的数中有多少个是质数？　　因为按要求所得的数可能是一位数、二位数、三位数和四位数，我们分别给予讨论．　　任取一张卡片，只能得3个数：1，8，9，其中没有质数；任取二张卡片，可得7个数：18，19，81，89，91，98，99，其中19，89两个是质数；任取三张卡片，可得12个数：189，198，819，891，918，981，199，919，991，899，989，9

2、98，其中199，919，991三个数是质数；取四张，所得的任一个四位数的数字和是27，因而是3的倍数，不是质数．综上所述，质数共有2＋3=5个．　　上面的解题方法称为分类讨论法．当我们要解决一个比较复杂的问题时，经常把所要讨论的对象分成若干类，然后逐类讨论，得出结论．　　分类讨论法是一种很重要的数学方法．在分类中须注意题中所含的对象都必须在而且只在所分的一类中．分类讨论一般分为三个步骤，首先确定分类对象，即对谁实施分类．第二是对对象实施分类，即分哪几类，这里要特别注意，每次分类要按照同一标准，并做到不重复、不遗漏，有些复杂的问题，还要逐级分类

3、．最后对讨论的结果进行综合，得出结论．　　例1求方程x2-│2x-1│-4=0　　的实根．　　x2+2x-1-4=0，　　x2-2x＋1-4=0，x1＝3，x2=-1．　　　　　　　说明在去绝对值时，常常要分类讨论．　　例2解方程x2-[x]=2，其中[x]是不超过x的最大整数．　　解由[x]的定义，可得x≥[x]=x2-2，　　所以x2-x-2≤0，　　解此不等式得-1≤x≤2．　　现把x的取值范围分成4个小区间(分类)来进行求解．　　(1)当-1≤x≤0时，原方程为x2-(-1)=2，　　所以x=-1(因x=1不满足-1≤x＜0)．　　(2

4、)当0≤x＜1时，原方程为x2=2．　　(3)当1≤x＜2时，原方程为x2-1=2，　　所以　　(4)当x=2时，满足原方程．　　例3a是实数，解方程x│x+1│+a=0．　　分析方程中既含有绝对值，又含有参数a，若以平方化去绝对值的话，则引入了高次方程，把问题更加复杂化了．对这种问题，宜讨论x的取值范围来求解．　　解(1)当x＜-1时，原方程变形为x2＋x-a=0．①　　当△=1＋4a≥0(且a=-x│1＋x│＞0)，即a＞0时，①的解为　　　　(2)当x≥-1时，原方程为x2＋x＋a=0．②　　　　又x≥-1，即　　　　　综上所述，可得：当

5、a＜0时，原方程的解为　　　　　　　　　例5已知三角形中两角之和为n，最大角比最小角大24°，求n的取值范围．　　解设三角形的三个角度数分别是α，β，γ，且有α≥β≥γ．由题设α-γ=24．　　(1)若β+γ=n，则α=180°-n，　　γ=α-24°＝156°-n，β＝n-γ＝2n-156°．　　所以156°-n≤2n-156°≤180°-n，　　所以104°≤n≤112°．　　(2)若α＋γ=n，则β=180°-n，于是　　所以　　所以112°≤n≤128°．　　(3)若α＋β=n，则γ=180°-n，α=γ+24°=204°-n，β=n-

6、α=2n-204°．于是180°-n≤2n-204°≤204°-n，　　所以128°≤n≤136°．　　综上所述，n的取值范围是104°≤n≤136°．　　例6证明：若p是大于5的质数，则p2-1是24的倍数．　　分析关于整数的问题，我们常把它分成奇数和偶数(即按模2分类)来讨论，有时也把整数按模3分成三类：3k，3k＋1，3k＋2．一般地，可根据问题的需要，把整数按模n来分类．本题我们按模6来分类．　　证把正整数按模6分类，可分成6类：6k，6k+1，6k＋2，6k＋3，6k＋4，6k＋5．因p是大于5的质数，故p只能属于6k+1，6k+5这

7、两类．　　当p=6k＋1时，p2-1=36k2+12k=12k(3k+1)．　　因k，3k＋1中必有一个偶数，此时24│p2-1．　　当p=6k＋5时，　　p2-1=36k2＋60k＋24　　　＝12k2＋12k　　　=12k(k＋1)≡0(mod24)．　　所以，P2-1是24的倍数．　　例7证明　　A=││x-y│+x+y-2z│+│x-y│+x+y+2z　　＝4max｛x，y，z｝，　　其中max｛x，y，z｝表示x，y，z这三个数中的最大者．　　分析欲证的等式中含有三个绝对值符号，且其中一个在另一个内，要把绝对值去掉似乎较为困难，但等式

8、的另一边对我们有所提示，如果x为x，y，z中的最大者，即证A=4x，依次再考虑y，z是它们中的最大值便可证得．　　证(1)当x≥y，x≥z时，　　A=