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时间:2018-04-06
《试题名称:全国初中数学竞赛辅导(初2)第18讲归纳与发现》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第十八讲归纳与发现 归纳的方法是认识事物内在联系和规律性的一种重要思考方法,也是数学中发现命题与发现解题思路的一种重要手段.这里的归纳指的是常用的经验归纳,也就是在求解数学问题时,首先从简单的特殊情况的观察入手,取得一些局部的经验结果,然后以这些经验作基础,分析概括这些经验的共同特征,从而发现解题的一般途径或新的命题的思考方法.下面举几个例题,以见一般. 例1如图2-99,有一个六边形点阵,它的中心是一个点,算作第一层;第二层每边有两个点(相邻两边公用一个点);第三层每边有三个点,…这个六边形点阵共有n层,试问
2、第n层有多少个点?这个点阵共有多少个点? 分析与解我们来观察点阵中各层点数的规律,然后归纳出点阵共有的点数.第一层有点数:1;第二层有点数:1×6;第三层有点数:2×6;第四层有点数:3×6;……第n层有点数:(n-1)×6. 因此,这个点阵的第n层有点(n-1)×6个.n层共有点数为 例2在平面上有过同一点P,并且半径相等的n个圆,其中任何两个圆都有两个交点,任何三个圆除P点外无其他公共点,那么试问: (1)这n个圆把平面划分成多少个平面区域? (2)这n个圆共有多少个交点? 分析与解(1)在图2
3、-100中,设以P点为公共点的圆有1,2,3,4,5个(取这n个特定的圆),观察平面被它们所分割成的平面区域有多少个?为此,我们列出表18.1. 由表18.1易知S2-S1=2,S3-S2=3,S4-S3=4,S5-S4=5,…… 由此,不难推测Sn-Sn-1=n. 把上面(n-1)个等式左、右两边分别相加,就得到Sn-S1=2+3+4+…+n, 因为S1=2,所以 下面对Sn-Sn-1=n,即Sn=Sn-1+n的正确性略作说明. 因为Sn-1为n-1个圆把平面划分的区域数,当再加上一个圆,即当n个圆过
4、定点P时,这个加上去的圆必与前n-1个圆相交,所以这个圆就被前n-1个圆分成n部分,加在Sn-1上,所以有Sn=Sn-1+n. (2)与(1)一样,同样用观察、归纳、发现的方法来解决.为此,可列出表18.2. 由表18.2容易发现a1=1,a2-a1=1,a3-a2=2,a4-a3=3,a5-a4=4,……an-1-an-2=n-2,an-an-1=n-1. n个式子相加 注意请读者说明an=an-1+(n-1)的正确性. 例3设a,b,c表示三角形三边的长,它们都是自然数,其中a≤b≤c,如果b=n
5、(n是自然数),试问这样的三角形有多少个? 分析与解我们先来研究一些特殊情况: (1)设b=n=1,这时b=1,因为a≤b≤c,所以a=1,c可取1,2,3,….若c=1,则得到一个三边都为1的等边三角形;若c≥2,由于a+b=2,那么a+b不大于第三边c,这时不可能由a,b,c构成三角形,可见,当b=n=1时,满足条件的三角形只有一个. (2)设b=n=2,类似地可以列举各种情况如表18.3. 这时满足条件的三角形总数为:1+2=3. (3)设b=n=3,类似地可得表18.4. 这时满足条件的三角形总
6、数为:1+2+3=6. 通过上面这些特例不难发现,当b=n时,满足条件的三角形总数为: 这个猜想是正确的.因为当b=n时,a可取n个值(1,2,3,…,n),对应于a的每个值,不妨设a=k(1≤k≤n).由于b≤c<a+b,即n≤c<n+k,所以c可能取的值恰好有k个(n,n+1,n+2,…,n+k-1).所以,当b=n时,满足条件的三角形总数为: 例4设1×2×3×…×n缩写为n!(称作n的阶乘),试化简:1!×1+2!×2+3!×3+…+n!×n. 分析与解先观察特殊情况: (1)当n=1时,原式=1
7、=(1+1)!-1; (2)当n=2时,原式=5=(2+1)!-1; (3)当n=3时,原式=23=(3+1)!-1; (4)当n=4时,原式=119=(4+1)!-1. 由此做出一般归纳猜想:原式=(n+1)!-1. 下面我们证明这个猜想的正确性. 1+原式=1+(1!×1+2!×2+3!×3+…+n!×n) =1!×2+2!×2+3!×3+…+n!×n =2!+2!×2+3!×3+…+n!×n =2!×3+3!×3+…+n!×n =3!+3!×3+…+n!×n=…
8、 =n!+n!×n=(n+1)!, 所以原式=(n+1)!-1. 例5设x>0,试比较代数式x3和x2+x+2的值的大小. 分析与解本题直接观察,不好做出归纳猜想,因此可设x等于某些特殊值,代入两式中做试验比较,或许能启发我们发现解题思路.为此,设x=0,显然有x3<x2+x+2.① 设x=10,则有x3=1000,x2+x+2=112,所以x3
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