试题名称：全国初中数学竞赛辅导（初2）第31讲复习题

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1、复习题　　1．分解因式：3x2+5xy-2y2+x＋9y-4．　　2．分解因式：(x2＋xy＋y2)(x2+xy+2y2)-12y4．　　　　　　　5．已知　　求ab＋cd的值．　　为任意正数，证明1＜s＜2.　　7．设a，b是互不相等的正数，　　比较M，N的大小．　　8．求分式　　的值．　　9．已知：　　求证：px＋qy+rz=(p+q+r)(x+y+z)．　　　　　　11．已知实数x，y满足等式　　求x，y的值．　　12．若14(a2+b2+c2)=(a＋2b＋3c)2，求a∶b∶c．　　13．解方程：x2＋2x-3丨x+1丨+3=

2、0．　　14．已知三个二次方程x2-3x＋a=0，2x2＋ax-4=0，ax2＋bx-3=0有公共解，试求整数a和整数b的值．　　15．如图2-178所示．在△ABC中，过点B作∠A的平分线的垂线，足为D．DE∥AC交AB于E点．求证：E是AB的中点．　　16．求证：直角三角形勾股平方的倒数和等于弦上的高的平方的倒数．　　17．如图2-179所示．在△ABC中，延长BC至D，使CD=BC．若BC中点为E，AD=2AE，求证：AB=BC．　　18．如图2-180所示．ABCD是平行四边形，BCGH及CDFE都是正方形．求证：AC⊥EG．　

3、　　　19．证明：梯形对角线中点的连线平行于底，并且等于两底差的一半．　　20．如图2-181所示．梯形ABCD中，∠ADC=90°，∠AEC=3∠BAE，AB∥CD，E是BC的中点．求证：CD=CE．　　21．如图2-182所示．梯形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，AC和BD交于M，EF过M且平行于AD，EC和FB交于N，GH过N且平行于AD．求证：　　22．如图2-183所示．在矩形ABCD中，M是AD的中点，N是BC的中点，P是CD延长线上的一点，PM交AC于Q．求证：∠QNM=∠MNP．　　　23．在(凸)四边形ABCD中

4、，求证：AC·BD≤AB·CD＋AD·BC．　　24．如图2-184所示．AD是等腰△ABC底边BC上的高，BM与BN是∠B的三等分角线，分别交AD于M，N点，连CN并延长交AB于E．求证：　　25．已知n是正整数，且n2-71能被7n＋55整除，求n的值．　　26．求具有下列性质的最小正整数n：　　(1)它以数字6结尾；　　(2)如果把数字6移到第一位之前，所得的数是原数的4倍．　　27．求出整数n，它的2倍被3除余1，3倍被5除余2，5倍被7除余3．　　28．把1，2，3，…，81这81个数任意排列为：a1，a2，a3，…，a81．

5、计算丨a1-a2＋a3丨，丨a4-a5＋a6丨，…，丨a79-a80＋a81丨；　　再将这27个数任意排列为b1，b2，…，b27，计算丨b1-b2+b3丨，丨b4-b5+b6丨，…，丨b25-b26＋b27丨．　　如此继续下去，最后得到一个数x，问x是奇数还是偶数？　　29．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，　　30．设凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，求证：BC＋AD＞AB+CD．　　31．如图2-185．在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别在AB和DC上

6、，EF∥BC，EF平分梯形ABCD的面积，若AD=a，BC=b，求EF的长．　　32．四边形ABCD的面积为1，M为AD的中点，N为BC的中点，的面积．　　33．已知一元二次方程x2-x+1-m=0　　的两实根x1，x2满足丨x1丨+丨x2丨≤5，求实数m的取值范围．　　34．求所有的正实数a，使得方程x2-ax＋4a=0仅有整数根．　　35．求证：当p，q为奇数时，方程x2＋px＋q=0　　无整数根．　　36．如图2-186．已知圆中四弦AB，BD，DC，CA分别等于a，b，c，d(且cd＞ab)．过C引直线CE∥AD交AB的延长线于

7、E，求BE之长．　　37．设A={2，x，y}，B={2，x，y2}，其中x，y是整数，并且A∩B={2，4}，A∪B={2，x，2x，16x}，求x，y的值．　　38．在梯形ABCD中，与两条平行底边平行的直线和两腰AB，CD交于P，Q(图2-187)．如果AP∶PB=m∶n，那么PQ的值如何用m，n，AD，BC表示？　　39．在平行四边形ABCD中，设∠A，∠B，∠C，∠D的平分线两两相交的交点分别为P，Q，R，S，那么四边形PQRS是什么图形？如果原来的四边形ABCD是矩形，那么四边形PQRS又是什么图形？　　40．在直角三角形A

8、BC中，以边AB，BC，AC为对应边分别作三个相似三角形，那么这三个相似三角形面积之间有什么关系？　　41．如果三角形的三边用m2＋n2，m2-n2，2mn来表示，那么这个三角形的形状如何？如果m2＋n2=