全国初中数学竞赛辅导（初1）第18讲加法原理与乘法原理.

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1、第十八讲加法原理与乘法原理　　加法原理和乘法原理是计数研究中最常用、也是最基本的两个原理．所谓计数，就是数数，把一些对象的具体数目数出来．当然，情况简单时可以一个一个地数．如果数目较大时，一个一个地数是不可行的，利用加法原理和乘法原理，可以帮助我们计数．　　加法原理完成一件工作有n种方式，用第1种方式完成有m1种方法，用第2种方式完成有m2种方法，…，用第n种方式完成有mn种方法，那么，完成这件工作总共有m1+m2+…+mn种方法．　　例如，从A城到B城有三种交通工具：火车、汽车、飞机．坐火车每天有2个班次；坐汽车每天有3个班次；乘飞

2、机每天只有1个班次，那么，从A城到B城的方法共有2+3+1=6种．　　乘法原理完成一件工作共需n个步骤：完成第1个步骤有m1种方法，完成第2个步骤有m2种方法，…，完成第n个步骤有mn种方法，那么，完成这一件工作共有m1·m2·…·mn种方法．　　例如，从A城到B城中间必须经过C城，从A城到C城共有3条路线(设为a，b，c)，从C城到B城共有2条路线(设为m，t)，那么，从A城到B城共有3×2=6条路线，它们是：am，at，bm，bt，cm，ct．　　下面我们通过一些例子来说明这两个原理在计数中的应用．　　例1利用数字1，2，3，4，

3、5共可组成　　(1)多少个数字不重复的三位数？　　(2)多少个数字不重复的三位偶数？　　(3)多少个数字不重复的偶数？　　解(1)百位数有5种选择；十位数有4种选择；个位数有3种选择．所以共有5×40×3=60个数字不重复的三位数．　　(2)先选个位数，共有两种选择：2或4．在个位数选定后，十位数还有4种选择；百位数有3种选择．所以共有2×4×3=24个数字不重复的三位偶数．　　(3)分为5种情况：　　一位偶数，只有两个：2和4．　　二位偶数，共有8个：12，32，42，52，14，24，34，54．　　三位偶数由上述(2)中求得为2

4、4个．　　四位偶数共有2×(4×3×2)=48个．括号外面的2表示个位数有2种选择(2或4)．　　五位偶数共有2×(4×3×2×1)=48个．　　由加法原理，偶数的个数共有2+8+24+48+48=130．　　例2从1到300的自然数中，完全不含有数字3的有多少个？　　解法1将符合要求的自然数分为以下三类：　　(1)一位数，有1，2，4，5，6，7，8，9共8个．　　(2)二位数，在十位上出现的数字有1，2，4，5，6，7，8，98种情形，在个位上出现的数字除以上八个数字外还有0，共9种情形，故二位数有8×9=72个．　　(3)三位数

5、，在百位上出现的数字有1，2两种情形，在十位、个位上出现的数字则有0，1，2，4，5，6，7，8，9九种情形，故三位数有　　2×9×9=162个．　　因此，从1到300的自然数中完全不含数字3的共有　　8+72+162=242个．　　解法2将0到299的整数都看成三位数，其中数字3　　不出现的，百位数字可以是0，1或2三种情况．十位数字与个位数字均有九种，因此除去0共有3×9×9-1=242(个)．　　例3在小于10000的自然数中，含有数字1的数有多少个？　　解不妨将1至9999的自然数均看作四位数，凡位数不到四位的自然数在前面补0

6、．使之成为四位数．　　先求不含数字1的这样的四位数共有几个，即有0，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字所组成的四位数的个数．由于每一位都可有9种写法，所以，根据乘法原理，由这九个数字组成的四位数个数为9×9×9×9＝6561，　　其中包括了一个0000，它不是自然数，所以比10000小的不含数字1的自然数的个数是6560，于是，小于10000且含有数字1的自然数共有9999-6560=3439个．　　例4求正整数1400的正因数的个数．　　解因为任何一个正整数的任何一个正因数(除1外)都是这个数的一些质因数的积，因此，我们先把1

7、400分解成质因数的连乘积1400=23527　　所以这个数的任何一个正因数都是由2，5，7中的n个相乘而得到(有的可重复)．于是取1400的一个正因数，这件事情是分如下三个步骤完成的：　　(1)取23的正因数是20，21，22，33，共3+1种；　　(2)取52的正因数是50，51，52，共2+1种；　　(3)取7的正因数是70，71，共1+1种．　　所以1400的正因数个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．　　说明利用本题的方法，可得如下结果：　　若pi是质数，ai是正整数(i=1，2，…，r)，则数的不同的正因数的个数

8、是(a1+1)(a2+1)…(ar+1)．　　例5求五位数中至少出现一个6，而被3整除的数的个数．　　+a5能被3整除，于是分别讨论如下：　　(1)从左向右计，如果最后一个6出现在第5位，即a5=6，那么a2，a3，a4