第1章 复数与复变函数

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1、复变函数与积分变换郑州大学信息工程学院刘占卫引言复变函数与积分变换，实际上是两门课，都属于工程数学.第1章到第6章是属于复变函数，复变函数论发展到今天已成为一个内容非常丰富、应用极为广泛的数学分支.作为大学必修课程的复变函数主要讲述解析函数的基本理论和有关方法，通常它包含以下三方面内容：Cauchy积分理论Weierstrass级数理论Riemann保形映照理论.第7,8章是属于积分变换，主要包括傅里叶(Fourier)和拉普拉斯(Laplace)积分变换.第1章复数与复变函数一、复数域、扩充复平面及

2、其球面表示在中学代数中已经知道，虚数单位具有性质，将这一虚数单位与两个实数用加、乘结合起来得到复数分别称为复数的实部与虚部记为.复数的四则运算为若，两复数相等当且仅当实部与虚部相等，i.e.和若复数，则称为的共轭复数，记作.而称为的绝对值（模），，记.于是显然，对于平面上一个给定的直角坐标系来说，复数可以用坐标为的点来表示.轴为实轴，轴为虚轴，所在平面称为复平面，记作.（见图1.1）图1.1一个复数不仅可以用一点来表示，而且可以用一个由原点指向这点的向量来表示，这个复数、这个点、这个向量都以同一字母来

3、表示之.任一向量作平行移动后得到的所有向量都视为与原向量恒等.于是复数的加法成为向量的加法.而复数的公式往往赋有几何意义，例如表示向量长度，表示三角形两边之和大于第三边，等等.对复数也可引入极坐标复数也称为复数的三角表示式.显然，，称为复数的模.称为复数的辐角，记辐角有无穷多值,彼此相差的整数倍.通常把满足的辐角值称为的主值，记为，于是用复数的极坐标来表示两复数的乘、除法、乘方以及开方，有时很方便.如果则两复数相乘，积的模为模的积，积的辐角为辐角的和.进而，不难知道，使得，则称为的次方根，记为设，则.

4、从而解出后（算术根），因此，的次方根为（i）当时，得到个相异的根（ii）当以其他整数值代入时，上述根又重复出现.例1．将写成三角形式解：令由例2．假设，，试证只有时才是实数.证：实数从得，故例3试证证：又因例4．在一直线上的条件是为实数,试证明之.证：在一直线上的条件是以线段与线段为两边的角是的整数倍，即平面图形用复数形式表示，有时很简单.若，为一固定的复数，为一固定的实数，则表示一个以为中心，为半径的圆盘，记作.同样，上半平面；右半平面等等.引入坐标，得到复平面，但如何来处理无穷远点？在复变函数论中

5、，引入一个点，叫做无穷远点，记作，称为扩充复平面，它的几何模型称为复球面，如图1.3：球面上任意点（除点外）与复平面上的点一一对应，反之亦然.但是在复平面上引进无穷远点与球面上点对应.以此来扩展.有限复数，图1.3二、复平面的点集，复变函数②的邻域：③，称为的内点：若使得.④称为的界点：若以及⑤若的每个点皆为内点，则称为开集.若的所有极限点都属于，则称为闭集.全部边界点组成的集，称为的边界，记为.①的邻域：1．基本概念设为复数点集（平面点集）.2．区域、曲线非空平面点集称为区域：若它满足（1）为开集；

6、（2）是连通的，就是说中任何两点都可以用一条完全属于内的折线连接起来.设已给曲线：区域加上它的边界称为闭区域.如，，则叫做连续曲线.若，即没有重点的连续曲线叫做简单曲线，当时，则称为简单闭曲线.若在上恒有，且、，则称为光滑曲线；若一条曲线由有限条光滑曲线连接而成，则称为逐（按）段光滑曲线.一个区域，若在内任作一条简单闭曲线，其内部仍全含于，则称为单连通区域；否则称为多连通区域.这里，我们承认一条简单闭曲线将平面分为内部和外部.设是一个复数集，如果对中的任一复数，通过一个确定的规则有一个或若干个复数与之

7、对应，就说在上定义了一个复变函数，记为.3．复变函数定义，极限，连续性如果的一个值对应着一个值,那么称是单值的否则就称是多值的.称为的定义域,称为的值域.例如．，，及均为的单值函数；（整数）及均为的多值函数.当为单值时，其反函数可能是多值的.当函数及其反函数都是单值函数时，则称这种函数是双方单值的.对于中的每一个，一定存在一个或若干个值与之对应，这就定义了上的一个函数.或记为称为的反函数.设复变函数在的去心邻域内有定义，，对，若，使得当时，有.则称为当趋向于时，函数的极限，记为或当时，.关于复变函数的

8、极限与连续性.注1趋向是按任意的方式进行的通常用“方式”这一术语，以区别“方向”一词，具体地说，即使当沿任何射线方向趋向于时，都趋向于数，还不能说在点以为极限.注2对极限概念可作一几何说明：首先留意不等式所确定的是平面上的一个去心邻域，即除去了中心的一个邻域.在点以为极限的意思是：先在平面上给定一个以为心,为半径的圆，而后能找到的一个去心邻域，使得中含于此去心邻域内的点的象都在上述圆内.先、后顺序关系：圆是先给的，去心的邻域则是后找的.图1.4下面的结论