[复变函数与积分变换][课件][第1章][复数与复变函数].pdf

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1、《复变函数》第一章复数与复变函数§1．复数及其代数运算复数：z=x+iy，i=−1——虚数单位．x=Re(z)——实部，y=Im(z)——虚部．两复数相等是指实部、虚部分别相等．复数间不能比较大小．复数的代数运算：z1=x1+iy1,z2=x2+iy2．加法：z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2)；减法：z1−z2=(x1−x2)+i(y1−y2)；zzzxx+yyxy−xy11212122112乘法：z1⋅z2=(x1x2−y1y2)+i(x2y1+x1y2)；除法：z=zz=x2+y2+ix2+y2,(z2≠0)．2

2、222222复数的运算满足交换律、结合律和分配律．共轭复数：z=x+iy，z=x−iy．满足：⎛z⎞z⎜1⎟1z±z=z±z,zz=z⋅z,=(1)12121212⎜⎟；(2)z=z；zz⎝2⎠222(3)z⋅z=x+y；(4)z+z=2x，z−z=i2y．−13i例1．设z=−，求Re(z)，Im(z)与z⋅z．i1−i(−1)(−i)i1(3+i)⎛−33⎞313−1915解：z=−=i−⎜+i⎟=−i，Re(z)=，Im(z)=，zz=+=．i(−i)1(−i)(1+i)⎝22⎠2222442§2．复数的几何表示1．复平

3、面y一一对应平面上建立直角坐标系xoy，这样(1)z=x+iy←⎯→⎯⎯(x,y)．zx轴――实轴，y轴――虚轴．两轴所在平面称为复平面．y(2)复数z=x+iy可用从原点指向点(x,y)的向量表示．r22zz=z2=z2z的摸：z=r=x+y．．1θ辐角：当z≠0时，向量z与x轴正向的交角θ，记Argz=θ．oxytg(Argz)＝．1x辐角主值：Argz的主值argz=θ0，满足−π<θ0≤π．这样，Argz=argz+2kπ,(k∈Z)．注：当z=0时，辐角不定．复数的加减法运算与向量的加减法法则一致．(3)三角表示法：

4、z=r(cosθ+isinθ),r=,zθ=Argz．iθiθ22(4)指数表示法：z=re,r=,zθ=Argz,e=cosθ+isinθ=cosθ+sinθ=1．例1．将z=1−i3化成三角表示式和指数表示式．−π解：r=z=1+3=,2tg(argz)=−,3argz=．3⎛−π−π⎞−πiz=2cos+isin⎟,z=2e3∴⎜．⎝33⎠平面曲线F(x,y)=0可用复数形式的方程表示，且一些常见曲线用复数形式表示时形式简单．例2．将直线方程x−2y=3化为复数形式．11解：x=(z+z),y=(z−z)，代入方程得：1

5、(+i)2z+1(−i)2z=6．2i2例3．求下列方程所表示的曲线：(1)z−1−i=1；(2)Im(i+z)=4．22解：(1)z=x+iy，方程变为：(x−)1+(y−)1i=1．即(x−)1+(y−)1=1——圆．(2)设z=x+iy，则Im(i+z)=Im[]x+1(−y)i=1−y=4，即y=−3——直线．yyx2o−11−2x−3y=−3o122．复球面（略）．§3．复数的乘幂与方根z=r(cosθ+isinθ)=reiθ1z=r(cosθ+isinθ)=reiθ2设11111，22222，则iθ1z11err1

6、i(θ1−θ2)zz=eriθ1⋅reiθ2=rrei(θ1+θ2)==e121212；zreiθ2r．222iθnninθ若z=r(cosθ+isinθ)=re，z的n次幂：z=re；i(θ+2kπ)又z=r[cos(θ+2kπ)+isin(θ+2kπ)]=re，z的n次方根：i(θ+2kπ)nn⎡θ+2kπθ+2kπ⎤nnw=z=rcos+isin=rek⎢⎥，(k=1,,0"n,−)1．⎣nn⎦10例1．求1(−i)．－πi10−10πi−πi1−i=e241(−i)10=()2e4=32e2=−32i解：，．3例2．求

7、1−i．ππ解：∵1−i=2[cos(2kπ−)+isin(2kπ−)]，4461π1π∴31−i=2[cos2(kπ−)+isin2(kπ−)]，(k=,0)21,．34346ππ67π7π615π15π即w0=2(cos−isin)，w1=2(cos+isin)，w2=2(cos+isin)．121212121212§4．区域1．区域邻域：U(z0,δ)={z∈Cz−z0<δ}(δ>0)；去心邻域：U(zˆ0,δ)={z∈C0

8、条曲线和一些孤立点所组成．闭区域D：区域D连同它的边界∂D．⎧有界点集：E⊂U(z,R)；0⎨.Z1.Z0⎩无界点集：E不能包含于任何一个圆中．.Z2邻域、区域2．单连域与多连域⎧x=x(t)平面曲线C：⎨(a≤t≤b)可改写成：z=z(t)=x(t)+iy(t),(a≤t≤