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1、《计算机数学基础(下)》数值分析部分辅导(2)中央电大冯泰第10章线性方程组的数值解法一、重点内容1.高斯顺序消去法解线性方程组AX＝b,对增广矩阵[A┇b]顺序作初等行变换，使矩阵A化为上三角形矩阵，再回代，从而得到线性方程组的解.要求作初等行变换消元过程中，.注意：本章讨论线性方程组的解的方法，不讨论解的存在性.2.高斯列主元消去法在高斯顺序消去法中，每次消元之前，要确定主元，(k=1,2,3,n-1)把第r行作为主方程，做第k次消元.把系数矩阵化为上三角形矩阵，从而得到线性方程组的解.3.雅可比迭
2、代法(简单迭代法)解线性方程组AX＝b的雅可比迭代法公式为(k=0,1,2,…)4.高斯¾¾赛德尔迭代法解线性方程组AX＝b的高斯¾¾赛德尔迭代法公式为(i=1,2,…,nk=0,1,2,…)5.超松弛迭代法迭代公式任给6．解的收敛性定理【定理1】高斯消去法消元过程能进行到底的充分必要条件是系数矩阵A的各阶顺序主子式不为0；AX＝b能用高斯消去法求解的充分必要条件是A的各阶顺序主子式不为0.【定理4】(迭代法基本定理)设线性方程组X＝BX＋f对于任意初始向量X(0)及任意f，对应此方程组的迭代公式X(k
3、+1)＝B(k)X+f收敛的充分必要条件是其中为迭代矩阵B的特征根.当li为复数时，½li½表示li的模.教育文档【定理6】(迭代法收敛的充分条件)设线性方程组AX＝b，(1)若A是严格对角占优矩阵，则雅可比迭代法和高斯¾¾赛德尔迭代法收敛；(2)若A为对称正定矩阵，则高斯¾¾赛德尔迭代法收敛.注：设矩阵A＝，若则称矩阵A是严格对角占优矩阵.二、实例例1用顺序消去法解线性方程组解顺序消元于是有同解方程组回代得解x3=－1,x2=1,x1=1,原线性方程组的解为X＝(1,1,－1)T.例2取初始向量X(0
4、)=(0,0,0)T,用雅可比迭代法求解线性方程组解建立迭代格式(k=1,2,3,…)第1次迭代,k=0X(0)＝0，得到X(1)＝(1,3,5)T,第2次迭代，k=1X(2)＝(5,－3,－3)T第3次迭代，k=2教育文档X(3)＝(1,1,1)T第4次迭代，k=31.X(4)＝(1,1,1)T例3用超松弛迭代法求解线性方程组取初始向量X(0）＝(1,1,1,1)T，松弛因子w＝1.46,求三次迭代值.解建立迭代格式第1次迭代，k=0,X(0)=(1,1,1,1)T第2次迭代，k=1,X(1)=(1,
5、1,1.73,0.8029)T教育文档第3次迭代，k=2,X(2)=(1,1.5329,1.6393,0.8274)TX(3)=(1.3890,1.5055,1.6790,0.8531)注：本题的精确解为(1.2,1.4,1.6,0.8)例4填空选择题：1.用高斯列主元消去法解线性方程组作第1次消元后的第2，3个方程分别为.解选a21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x1+2x2+3x3=3，消元得到是应填写的内容.2.用选主元的方法解线性方程组AX＝b，是为了()(A)提高计算速度(B)减少舍入
6、误差(C)减少相对误差(D)方便计算答案：选择(B)3.用高斯－赛德尔迭代法解线性方程组的迭代格式中＝(k=0,1,2,…)答案：解答：高斯——赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求x2的值时应该用x1的新值.教育文档4.当a()时，线性方程组的迭代解一定收敛.(A)>6(B)=6(C)<6(D)>½6½答案：(D)解答：当½a½>6时，线性方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵，由教材第10章定理6，迭代解一定收敛.三、练习题1.用高斯列主元消去法解线性方程组2.用高斯－赛德尔迭代法求解线性方程组取初
7、始值(4.67,7.62,9.05)T,求二次迭代值.3.证明线性方程组的迭代解收敛.4.用高斯顺序消去法解线性方程组，消元能进行到底的充分必要条件是.5.用列主元消去法解线性方程组，第1次消元，选择主元为().(A)3(B)4(C)－4(D)－9四、练习题答案1.X＝(－4，1，2)T2.(4.66619,7.61897,9.07452)T3.提示：系数矩阵是严格对角占优矩阵.4.线性方程组的系数矩阵的各阶顺序主子式均不为0.5.(C)附录：教材中练习与习题答案练习10.1(A)1.(2,1,-1)T
8、,2.(1,2,3)T,3.(1,-1,2)T,4.(B)1.C2.系数矩阵的各阶主子式均不为0.3.B4.矩阵A是严格对角占优矩阵5.见教材第10章公式(1.6)6.见教材第10章公式(1.8)练习10.2(A)教育文档1.(1,2,-1,3)T,2.3.Y=(14,-10,-72)T,X=(1,2,3)T.4.Y=(2.4493,11.247,85.254)T,X=(1,0,23)T.5.X=(5,4,3,2)T.6.X=(2,2,1)
