《计算机数学基础(2)》辅导.doc

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1、第12章数值积分与微分一、教学要求（一）考核知识点数值求积公式，求积节点，求积系数，代数精度；插值型求积公式，牛顿一一科茨求积公式，科茨系数及其性质，（复化）梯形求积公式，（复化）抛物线求积公式；高斯型求积公式,髙斯点，（二点、三点）高斯一一勒让德求积公式；（二点、三点）插值型求导公式。（-）复习要求1.了解数值积分和代数精度等基本概念。2.了解牛申—科茨求积公式和科茨系数的性质。熟练掌握并推导（复化）梯形求积公式和（复化）抛物线求积公式。3.知道高斯求积公式和高斯点概念。会用高斯一勒让德求积公式求定积分的近似值。4.知道插值型求导公式概念，掌握两点求导公式和三点求导公式。

2、二、重点内容•加次代数精度求积公式『/（兀）血=£人丿（林）ak=Q对于任意不超过也次的代数多项式都精确成立，而至少有一个加+1次代数多项式不成立，称该求积公式具有m次代数精度.(xk=a+k!i)••牛顿一科茨求积公式：.f(x)心=(b—a)工C："丁伙Q二工人f(xk)20"0其中加=9一。）0絆伙=0,1,2,・・・肋是牛顿一科茨求积公式的系数，C："）称科茨系数，有(-I)”"k).{n-k)(RO,l,2,...j2)°J=O它有两条性质:①归一性，工C；"=l；②对称性Cf°=C；^伙=0,1,…肋.rb严D（&牛顿一科茨求积公式的截断误差RnM=I丄——

3、©+I⑴山（a<^

4、,M2=maxj/'Xjv)

5、♦抛物线公式：学［/⑷+4/(字)+/的］Ja62♦复化抛物线公式：£/(兀)血«片［/0+4(/；+人+…+/2心)+2(/2+L+•••+/2/M-2)+皿其中人=f(xk)=y伙=0,1,2,

6、・・・,2加).截断误差：rm<烏忖，2岀

7、/%）

8、（h=a

9、

10、/（%!）12327+亦/（兀2）+亦/（兀3）+%/（兀J•高斯一勒让德求积公式有料+1节点的求积公式f.f（兀）血=亍仃（耳）具有加+i次"i=0代数精度，称为高斯求积公式，其节点称高斯点.髙斯点为H阶勒让德多项式化⑴=的零点（髙斯点），且只限于在2tidx区间［-1,I］的高斯型求积公式称为高斯一勒让德求积公式.其节点和系数可查表得到.2+2）（点）®『血（兀）dr其余项：Rn（x）(2/?+2)!人dxn（1）等距节点两点求导公式：•微分公

11、式11伙=0,1,2,.../—1)广(w+Ju'ym一儿)h（2）等距节点三点求导公式•厂（无T）=7?（一3儿_

12、+4儿一儿+1）2h广（无2二（一儿一1+儿+1）2h广（％）=右（儿一】-4儿+3儿+i）2h三、例题例1试确定求积公式J：/（x）dr=/（—171）叫）的代数精度。解当./U）取1,心己…计算求积公式何时精确成立。⑴取/（兀）=1,有：左边=J］/（x）dx=J］lck=2,右边=2(3)类似导出，取/⑴三己』，有左边二右边⑸取/U)三有：左边=2/5,右边=2/9当肚3求积公式精确成立，而『公式不成立，可见该求积公式具有3次代数精度。例2试用梯形公式

13、、科茨公式和抛物线公式计算定积分(1)用梯形公式计算1-05-——-[/(0.5)+/(I)]=0.25x[0.70711+1]=0.426782歹㈱％73212327小力90'90'90'90‘90=^^[7xV0^54-32x^0.625+12xV0?75+32x)0.875+7x71]=丄x[4.94975+25.29822+10.39223+29.93326+7]=0.43096180(3)如果要求精确到I0-5,用复化抛物线公式，截断误差为严(%)=^x-7/2,M4=maxl/(4)(x)16a

14、)6中4<1.5b_a2880匕斗M2880<10~5,A>25位有效数字)只需扌巴[0.5,1]4等分，点为0.5,0.625,0.75,0.875,1-

15、[/(0.5)+2/(0.75)+4(/(0.625)+/(0.875))+/(I)]=21仝[0.7071l+2x0.866025+4x(0.79057+0.93541)+1]=0.43096■例3用三点高斯一勒让徳求积公式计算积分「里怛cUJox1]sin—(f+1)解做变量替换兀=—(/+1),有「巴丄―2&。2J。兀Lt+1查表得节点为±0.77459