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1、DBFQ《计算机数学基础(2)》辅导第12章数值积分与微分(2002级(秋季)用)中央电大冯泰第12章数值积分与微分一、重点内容nm次代数精度求积公式对于任意不超过m次的代数多项式都精确成立,而至少有一个m+1次代数多项式不成立,称该求积公式具有m次代数精度．n牛顿－科茨求积公式：»(b－a).其中Ak=(k=0,1,2,…,n)是牛顿－科茨求积公式的系数，称科茨系数，有(k=0,1,2,…,n)它有两条性质：①归一性，；②对称性(k=0,1,…,n)．牛顿－科茨求积公式的截断误差Rn(x)=n常见牛顿－科茨
2、求积公式¨梯形公式：截断误差：R1[f]=¨复化梯形公式：()截断误差：，M2＝¨抛物线公式：¨复化抛物线公式：其中．截断误差：½Rn[f]½，(,n=2m)¨科茨公式：前列腺炎WWW.HUSHI360.COM淘广网WWW.TGWANG.COM淘广返利网WWW.TBGDZ.COM最有效的祛斑产品WWW.TK508.COMDBFQn高斯¾勒让德求积公式有n+1节点的求积公式具有2n+1次代数精度，称为高斯求积公式，其节点称高斯点．高斯点为n阶勒让德多项式的零点(高斯点)，且只限于在区间[－1，1]的高斯型求积公
3、式称为高斯－勒让德求积公式．其节点和系数可查表得到．其余项：n微分公式(1)等距节点两点求导公式：(2)等距节点三点求导公式(k=1,2,…,n－1)二、实例例1试确定求积公式中的参数a，并证明该求积公式具有三次代数精度．[依定义，对xk(k=0,1,2,3,…)，找公式精确成立的k数值]解公式中只有一个待定参数a.当f(x)=1,x时，有,即h=h,不能确定a，再令f(x)=x2,代入求积公式，得到,即得.求积公式为将f(x)=x3代入上求积公式，有可见，该求积公式至少具有三次代数精度.再将f(x)=x4代
4、入上公式中，有所以该求积公式具有三次代数精度．前列腺炎WWW.HUSHI360.COM淘广网WWW.TGWANG.COM淘广返利网WWW.TBGDZ.COM最有效的祛斑产品WWW.TK508.COMDBFQ注：若参数a已知时，此题改换为“求该求积公式具有几次代数精度”．例2将区间[1,9]8等分，试用复化梯形公式求积分的近似值，计算过程中保留4位有效数字．解计算列表k011.000122.646233.606344.359455.000565.568676.083786.557897.000h=1,用梯形公式
5、=37.819例3已知函数f(x)在x=0，0.125，0.25，0.375，0.5，0.625，0.75，0.875，1处的函数值为0，0.015624，0.062459，0.140162，0.247404，0.380766，0.533303，0.692988，0.841471，试用复化抛物线公式计算积分的近似值，计算过程中保留5位小数．解取m=4,即n=8，h=0,125，用复化抛物线求积公式计算积分===例4用四个节点的高斯―勒让德求积公式计算定积分，计算过程保留4位小数．解高斯－勒让德求积公式只求积分
6、区间为[－1,1]上的积分问题．需作变换，令前列腺炎WWW.HUSHI360.COM淘广网WWW.TGWANG.COM淘广返利网WWW.TBGDZ.COM最有效的祛斑产品WWW.TK508.COMDBFQ，当x=1时，u=1;当x=0时，u=－1．于是，＝＝例5用三点公式计算在x=1.0,1.1,1.2处的导数值.已知函数值f(1.0)=0.250000,f(1.1)=0.226757,f(1.2)=0.206612解三点导数公式为k=1,2,3,…,n－1本例取x0=1.0,x1=1.1,x2=1.2,y0
7、=0.250000,y1=0.226757,y2=0.206612,h=0.1.于是有计算例6选择填空题1.将积分求积[0，0.5]四等分，有科茨求积公式，它的科茨系数为那么用科茨求积公式计算定积分dx中的系数A2＝()．(A)(B)(C)(D)答案：(C)解答：科茨系数具有归一性和对称性，由，可知牛顿－科茨系数与科茨系数的关系为A2＝2.梯形求积公式具有()次的代数精度．前列腺炎WWW.HUSHI360.COM淘广网WWW.TGWANG.COM淘广返利网WWW.TBGDZ.COM最有效的祛斑产品WWW.TK
8、508.COMDBFQ(A)0(B)1(C)2(D)3答案：(B).解答；由代数精度的定义，(1)当f(x)=1,有左边＝,右边＝(2)当f(x)=x,有左边＝右边＝(3)当f(x)=x2,有左边=右边=¹左边可见该求积公式只有1次代数精度．3.已知n=3时，科茨系数，那么＝答案：．解答：由科茨系数的归一性质，4.3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是()次的．(A)5(B)6(C)7(D)3答案：
