《计算机数学基础》离散数学辅导(8)

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1、《计算机数学基础》离散数学辅导(8)¾¾第8章其它代数系统(2021级用)中央电大冯泰本章重点：格与布尔代数概念，布尔代数运算、化简和恒等式证明.一、重点内容1.环与域h环，设G是非空集合，在G上定义加法＋和乘法·两种运算，如果满足：(1)(G,+)是交换群(阿贝尔群)；(2)(G,·)是半群；(3)乘法对加法适合左、右分配律，即对"a,b,cÎG,有a·(b+c)=a·b+a·c(a+b)·c=a·c+b·c则代数系统(G,+,·)为环.环就是定义了代数运算＋，·，其中“＋”满足交换律，“·”满足结合律

2、，·对＋满足左右分配律的代数系统.h交换环，环(G,+,·)的乘法满足交换律：a·b=b·a.则(G,+,·)是交换环.交换环就是两个代数运算都满足交换律的环.h除环，环(G,+,·)的乘法·存在单位元；非0元对·有逆元的环.h域设(S,+,·)是代数系统，如果满足：(1)(S，＋)是交换群；(2)(S－{0}，·)是交换群；(3)运算·对运算＋是可分配的.则(S,+,·)为域..交换除环是域.环与域关系图h环的同态、同构注意：群是定义了一个代数运算的代数系统；环、域是是定义了两个代数运算的代数系统.2.

3、格偏序格，设(L，£)是一个偏序集，如果对于"a,bÎL，L的子集{a,b}在L中都有一个最大下界(记为inf{a,b})和一个最小上界(记为sup{a,b}),则(L，£)是一个偏序格.子集在L中有上确界和下确界的偏序集，就是格.代数格，在L定义二元运算*，°满足：对"a,b,cÎL,有(1)交换律a*b=b*a，a°b=b°a(2)结合律(a*b)*c=a*(b*c),(a°b)°c=a°(b°c)16(3)吸收律a*(a°b)=a，a°(a*b)=a则(L,*,°)是代数格.用代数的语言，格就是在非

4、空集合上定义了两个满足结合律、交换律和吸收律的代数系统.偏序格Û代数格.h对偶式，由1，0和可以代表格中的任意元素的变量通过＋，×运算连结起来的式子，就是格中的表达式，记作f.将f中的0换成1，1换成0，＋换成×，×换成＋所得的表达式，就是表达式f的对偶式记作f*.对偶原理若f为真，则f*为真.3.特殊格h有界格，设(L，£)是格，如果L有最大元素(记作1)和最小元素(记为0)，则(L，£)称为有界格，记作(L,£,1,0)或(L,*,°,0,1).存在最大和最小元素的格，就是有界格.h有余格，设(L，*

5、，°，0，1)是有界格，如果L中的每一个元素都至少有一个余元素，则(L，*，°，0，1)为有余格(或称为有补格).有最大和最小元素，且存在余元的格.亦即有余元的有界格就是有余格.它们的关系：格有界格有余格.h分配格，(L，*，°)是格，如果对"a,b,cÎL，有a*(boc)=(a*b)°(a*c)a°(b*c)=(a°b)*(a°c)则（L，*,°)为分配格.满足左、右分配律的格就是分配格.h格的运算性质(1)(L，£)是一个格，"a,bÎL，有a£bÛa*b=aÛa°b=b(2)(L，£)是一个格，"

6、a,bÎL，如果b£c，有a*b£a*c，a°b£a°c(3)(L，£)是一个格，"a,b,cÎL，有分配不等式：a°(b*c)£(a°b)*(a°c)a*(b°c)³(a*b)°(a*c)(4)(L，£)是一个格，"a,b,cÎL，有a£bÛa°(b*c)£b*(a°c)在格中德×摩根律成立：4.布尔代数h布尔代数，一个有余分配格就是一个布尔代数h布尔代数的公理定义，设B是一个至少含有两个元素的集合，·，＋是定义在B上的两种运算，如果对"a,b,cÎB，满足下列公理(定理10)：H1：a·b=b·aa+

7、b=b+a(交换律)H2：a·(b+c)=a·b+a·ca+(b·c)=(a+b)·(a+c)(分配律)H3：B中有元素0和1，对"aÎB,有a·1=aa+0=a(有最大元、最小元)H4：对"aÎB,有`aÎB，满足a·`a=0a+`a=1(有余元)16则(B，·，＋，``，0，1)是一个布尔代数h记住布尔代数运算的10条算律(P289.定理9).二、实例例8.1证明是环，其中Z是整数集，运算定义如下：证明(1)证(Z,)是交换群.，显然有又，即1是运算的单位元.，即2－a是a关于运算的逆元.所以，(Z,

8、)是交换群.(2)证(Z，)是半群.，所以运算是可结合的.那么(Z，)是半群.(3)证运算对适合分配律.，故运算对适合分配律.总之，()是环.例8.2本例可以作为提高要求.设，其中Q是有理数集，证明(Q.，+，×)是域，＋和×分别是数的加法和乘法.16证明且惟一，故运算＋是Q()上的二元运算，加法满足结合律、交换律..Q()的0元是0＋0.,即存在逆元.所以(Q(),＋)是交换群.且惟一，故×是Q()上的二元运算.容易验证×在