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1、《计算机数学基础(下)》数值部分辅导(4)中央电大冯泰第12章数值积分与微分一、重点内容1.m次代数精度求积公式对于任意不超过m次的代数多项式都准确成立,而对某一个m+1次代数多项式不成立,2.牛顿－科茨求积公式：»(b－a)截断误差Rn(x)=(1)科茨系数：(k=0,1,2,…,n)，有两条性质.(2)牛顿－科茨求积公式的求积系数：Ak=(k=0,1,2,…,n)(3)常见牛顿－科茨求积公式梯形公式截断误差：R1[f]=－复化梯形公式截断误差：，M2＝抛物线公式复化抛物线公式截断误差：½RN[f]½，科茨公式3．高斯¾勒让德求积公式,节点为的零点(高斯点)5其余项
2、：4.微分公式(1)等距节点两点求导公式：(2)等距节点三点求导公式(k=1,2,…,n-1)二、实例例1试确定求积公式的代数精度.[依定义，对xk(k=0,1,2,3,…)，找公式精确成立的k数值]解当f(x)取1,x,x2,…计算求积公式何时精确成立.(1)取f(x)=1,有左边＝,右边＝(2)取f(x)=x,有左边＝,右边＝(3)取f(x)=x2,有左边=,右边=(4)取f(x)=x3,有左边=,右边=(5)取f(x)=x4,有左边=,右边=当k£3求积公式精确成立，而x4公式不成立，可见该求积公式具有3次代数.例2试用梯形公式、抛物线公式和科茨公式计算定积分(
3、计算结果取5位有效数字)(1)用梯形公式计算(2)用抛物线公式5(3)用科茨公式系数为＝如果要求精确到10－5，用复化抛物线公式，截断误差为½RN[f]½，,N³2只需把[0.5,1]4等分，分点为0.5,0.625,0.75,0.875,1例3用三点高斯－勒让德求积公式计算积分[高斯型求积公式只能计算[－1,1]]上的定积分]解做变量替换，＝查表得节点±0.774596669和0；系数分别为0.5555555556和0.8888888889＝+0.888888889×＋＝＝0.94083124注：该积分准确到小数点后七位是0.9460831，可见高斯型求积公式的精度
4、是高的.教材的第12章12.2节，用多种方法计算过该积分，它们的精度请读者自行比较.例4用三点公式计算在x=1.0,1.1,1.2处的导数值.已知函数值5f(1.0)=0.250000,f(1.1)=0.226757,f(1.2)=0.206612解三点导数公式为k=1,2,3,…,n－1本例取x0=1.0,x1=1.1,x2=1.2,y0=0.250000,y1=0.226757,y2=0.206612,h=0.1.于是有计算例5选择填空题1.牛顿－科茨求积公式与高斯型求积公式的关键不同点是.解答：牛顿－科茨求积公式的节点和求积系数确定后，再估计其精度；高斯型求积公
5、式是由精度确定其节点和求积系数.2.如果用复化梯形公式计算定积分，要求截断误差的绝对值不超过0.5×10－4，试问n³()(A)41(B)42(C)43(D)40答案：(A)解答；复化的梯形公式的截断误差为，n=40.8,取n³41.故选择(A).3.已知n=3时，科茨系数，那么＝答案：1/8解答：由科茨系数的归一性质，三、练习题1.试确定求积公式的待定参数，使求积公式的代数尽可能的高.2.用复化抛物线公式计算定积分取n=4,保留4位有效数字.3.试用四点(n=3)高斯－勒让德求积公式计算积分4.已知条件见例4.用两点求导公式计算f¢(1.0)f¢(1.1).5.若用
6、复化抛物线公式计算积分,要求截断误差的绝对值不超过0.5×10－4，试问n³()(A)1(B)2(C)4(D)356．当n=6时，=()7.用三点高斯――勒让德求积公式计算积分，是有代数精度的.四、练习题答案1.A0=A2=1/3,A1=4/32.0.11093.3.1416244.0.23243,0.201455.(B)6.(D)7.5次附录：教材中练习与习题答案练习12.1(A)1.(1)二次代数精度，；(2)二次代数精度，a0=1/3,a1=4/3,a2=1/32.五次代数精度(B)1.A2.B练习12.2(A)1.略2.略3.1.71828用梯形公式分476个
7、子区间，用抛物线公式分6个子区间（B）1.(归一公式)，与a，b无关，且(称为对称性)2.B练习12.3(A)1.1.15472.2.0013889(B)1.2n+12.B3.练习12.4(A)1.取平均为2.－0.4－0.2(B)1.B2.习题121.0.31168024;0.31024853;0.310268842.1.148714467;1.1477928573.4.略5.用复化梯形公式，4等分区间，近似值为T4＝5.058337用复化抛物线公式，2等区间，近似值为S2＝5.033002用科茨公式近似值为C＝5.032926．37.A0=2A1
