第一章梅涅劳斯定理及应有答

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1、第一章梅涅劳斯定理及应有习题A1．延长，交于，与截线，有，有，即．对及截线，，求得．2．设，的延长线交于，又，，对与截线，，有，即；，即．由此求得．3．对于截线，有，知．对与截线，有，知．而，故．在中，由中线长公式，得，即．又，即，，．4．直线分别与和的三边延长线都相交，有，，即．由，有，，从而，即，有，故．5．直线截，有，即，故．直线截，有，所以．6．设，则，。，由求得．直线截，有，即，．直线截，有，可得，．又，，，即，而，故．7．直线截，有，即，亦即．直线截，有，即，亦即．又，故．而，故．8．显然，若时，有．设，，三直线共点于，设，相交于．

2、由直线截，直线截，直线截，有，，．三式相乘，得．对应用梅涅劳斯定理只逆，知，，共线，由此知，，共点于．9．由，公用，知，有．同理，，．故．由梅涅劳斯定理之逆，知，，三点共线．10．设，，分别是的，的内角平分线和的外角平分线与边，，或延长线的交点，则由内分和外分性质有．由梅涅劳斯定理之逆，知，，共线．11．设与，，分别交于，，，由切线长定理知，．由题设，有，，从而对又．由梅涅劳斯定理之逆，知，，共线，即，，共点．12．设与交于，与交于，，且，即．在中，．由梅涅劳斯定理之逆，知，，共线，即，，三线共点．13．延长交于，只需证．对及支线，应用梅涅劳斯

3、定理，有．又由，有，而，故，即，也就是．（*）由平分，有，由此式及*式，知，故．14．由梅涅劳斯定理，有，①，②，③．④由①÷②，③÷④，得，．此两式相乘，并注意由，有，即有，亦即，亦即，故．15．直线截，应用梅涅劳斯定理，有．由切线长相等，有，，，．于是，．由梅涅劳斯定理之逆，知，，三点共线．16．由，应用梅内劳斯定理之逆，知，，三点共线．17．设交于点，设，，．不妨设，由平分，有，即，即．由切线长定理有，，．注意到，则，由梅涅劳斯定理之逆，知，，三点共线．18．设与相交时，交点为．对及截线应用梅涅劳斯定理，有令，，，，有，，则，由梅涅劳斯定

4、之逆，知，，三点共线，即，，三四按共点．若，则假设与相交，由上面证明，知与相交于同一点，矛盾，故．19．设与相交于，交于，交于．直线截，应用梅内劳斯定理，有，从而．同理，．于是与重合，即过，的交点．和位置时对称的（相对于和而言），因而亦过，的交点，即，，，四线共点．习题B1．设，分别与交于，，分别对于截线，对于截线，由梅涅劳斯定理，有，．又，，故，由合比定理得，从而，与重合，即，，共点．2．设于，于，于，交于，交于，下面证明，从而是的垂心．对于截线，由梅涅劳斯定理，得，但，故．又，所以，从而，即，也即，与重合，因此由线段任一点所得到的的垂心都在

5、线段上．反之，由不在线段上的任一点所得到的的垂心都不在上．故点的轨迹为线段为．3．由题设，对及截线应用梅涅劳斯定理，有，因此，，于是．同理，可得，，因而．由题意得，即，注意，求得．4．取中点，连交于．对及截线应用梅涅劳斯定理，有，而，所以，即（*）同理对及截线，有及，得，即．注意，有，由此式及（*）式有，又，故，因此．5．由，知．由知，而，则．又公用，知，有．对及截线，对及截线分别应用梅涅劳斯定理，有，．此两式相乘，，即，亦即．（注①点为直线上除点以外任意一点结论都成立；②和为的外角平分线时，结论仍成立．）6．（Ⅰ）设交于点，交于点，对与直线应

6、用梅涅劳斯定理，有．又由于，，为切点，，，故．对与直线，应用梅涅劳斯定理，得．从而，因此，重合，故，，三线共点．再证，，三线共点．设交于，交于，对与直线应用梅涅劳斯定理，有．又由于，，为切点，，，，故，．对与直线应用梅涅劳斯定理，得．因此，故，重合，即，，共点，即证．（Ⅱ）将（Ⅰ）中，，，，，，，，，分别重新标作，，，，，，，，，，使用（Ⅰ）的证明即可．（Ⅲ）将（Ⅰ），，，，，，，，，分别重新标作，，，，，，，，，，重新使用（Ⅰ）的证明即可．7．由已知条件知，，，四点共圆，有．①在中，由，，有．②由①，②得．③延长交直线于，交直线于，由，，，四

7、点共圆，有，④③④有，则，故．⑤在及截线和及截线中分别应用梅涅劳斯定理，有，．又由⑤式，有，故．同理，．从而．同理，．注：若时，由，有．又，有，由此得．同理，，故．8．设，．对及直线应用梅涅劳斯定理，有，即．对及直线应用梅涅劳斯定理，有，即．而，，由题设，得，从而．①又②本题即在条件①下求②的最大值．利用均值不等式于①式，有，，由此得．，，则，因此．当且仅当时，等号成立．．当时，取得最大值，最大值是．9．由直线截，有，求得．直线截，有，有，求得．．10．（Ⅰ）设是，的中垂线交点即可；（Ⅱ）由4条平分线性质有．假设与交于，由直线解，有，即．对应用

8、梅涅劳斯之逆，知，，共线，得与交于，这显然不可能．故，由此有，即．同理，即点轨迹是，中垂线的交点．11．设直线交于，直线交于，直线交于．由直线截，直线