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1、初中数学竞赛专题选讲 数的整除(三)一、内容提要在《数的整除(一)》和《数的整除(二)》中，分别介绍了数的整除特征和运用因式分解法解答数的整除问题，本讲介绍应用“同余”方面的知识.一.同余的概念两个整数a和b被同一个正整数m除，所得的余数相同时，称a, b关于模m同余.记作a≡b(modm).如：8和15除以7同余1，记作8≡15(mod7), 读作8和15关于模7同余.∵2003=7×286+1， ∴2003≡1(mod7)；∵－7和6对于模13同余6（余数是非负数） ∴－7≡6（mod13）；∵35和0除以5，余数都是0（即都能整除） ∴35≡0（mod5）.二.用同余式判定数
2、的整除若a≡b(modm)， 则m
3、(a－b). 即a－b≡0(modm)m
4、(a－b).例如：11≡25(mod7)7
5、(25－11)； 或7
6、(11－25).∵25+35≡2+3≡0(mod5)， ∴5
7、25+35.三.同余的性质(注意同余式与等式在变形中的异同点)1.传递性：.2.可加可乘性：推论可移性：a≡b+c(modm)(a－b)≡c(modm).可倍性：a≡b(modm)ka≡kb(modm)(k为正整数).可乘方：a≡b(modm)an≡bn(modm)(n为正整数).3.当d是a, b, m的正公因数时，a≡b(modm)(mod). 如：2是20，26，6的正公因
8、数， 20≡26(mod6)(mod3).四.根据抽屉原则：任给m+1个整数，其中至少有两个数对于模m同余.即至少有两个，其差能被m整除.例如：任给5个数a, b, c, d, e.其中至少有两个，它们的差能被4整除.∵除以4的余数只有0，1，2，3四种.∴5个数除以4至少有两个同余.271二、例题例1. 已知：69，90，125除以正整数n有相同的余数.求：n的值解：∵69≡90(modn)，90≡125(modn).∴n
9、(90－69)，n
10、(125－90).而21,35的最大公约数是7， 记作(21,35)=7(7是质数).∴n=7例2. 求388除以5的余数.解：∵38≡3(mod
11、5)，∴388≡38≡(32)4≡(－1)4≡1(mod5).(注意9除以5余4，－1除以5也是余4，∴32≡－1(mod5)例3. 求的个位数字.解：∵74k+n与7n的个位数字相同，且9≡1(mod4)， ∴99≡19≡1(mod4).∴与71的个位数字相同都是7.例4. 求证：7
12、(22225555+55552222).证明：∵22225555+55552222=(22225)1111+(55552)1111∵2222=7×317+3，5555=7×793+4.∴2222≡3(mod7)；5555≡4(mod7).∴22225≡35≡5(mod7)；55552≡42≡2(mod
13、7).∴22225+55552≡5+2≡0(mod7). 即22225≡－55552(mod7).∴(22225)1111≡(－55552)1111≡－(55552)1111(mod7).∴22225555+55552222≡0(mod7).∴7
14、(22225555+55552222).例5. 求使32n－1能被5整除的一切自然数n.解：∵32≡－1(mod5)，∴(32)n≡(－1)n(mod5). 32n－1≡(－1)n－1(mod5)∵当且仅当n为偶数时，(－1)n－1=0.∴使32n－1能被5整除的一切自然数n是非负偶数 例6. 已知：a, b, c是三个互不相等的
15、正整数. 求证：a3b－ab3, b3c－bc3, c3a－ca3三个数中，至少有一个数能被10整除. （1986年全国初中数学联赛题）证明：用同余式判定整除法证明 当正整数n的个位数是0，1，4，5，6，9时，n3的个位数也是0，1，4，5，6，9.∴这时n3≡n(mod10)；当正整数n的未位数为2，3，7，8时，n3的个位数分别是8，7，3，2.∵8与－2，7与－3，3与－7，2与－8，除以10是同余数，∴这时n3≡－n(mod10)；271 把三个正整数a, b, c按个位数的情况，分为上述两类时，则至少有两个
16、属于同一类.设a, b的末位数是同一类，那么a3b－ab3≡ab－ab≡0(mod10)；或a3b－ab3≡(－a)b－a(－b)≡0(mod10). ∴10
17、(a3b－ab3)三、练习1. 三个数33，45，69除以正整数N有相同余数，但余数不是0，那么N=_______.2. 求的个位数字.3. 求37除以19的余数；41989除以9的余数.4. 求19891990÷1990的余数.5. 四个数2836，4582
