数学竞赛辅导资料(24)

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1、27.连续正整数的性质作者德化一中颜墀策甲内容提要一.两个连续正整数的性质1.两个连续正整数一定是互质的，其商是既约分数.2.两个连续正整数的积是偶数，且个位数只能是0，2，6.3.两个连续正整数的和是奇数，差是1.4.大于1的奇数都能写成两个连续正整数的和.例如：3＝1＋2，79＝39＋40，111＝55＋56.二.连续正整数的个数例如：不同的五位数共有几个？这是计算连续正整数从10000到99999的个数，它是99999－10000＋1＝90000（个）.n－101.n位数的个数，一般可表示为9×10(n为正整数，10＝1).0

2、例如一位正整数从1到9共9个（9×10），1二位数从10到99共90个（9×10），2三位数从100到999共900个（9×10），……2.连续正整数从n到m的个数是m－n+1.把它推广到连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的连续数的个数的计算，举例如49－13下：①从13到49的连续奇数的个数是＋1＝19.248－14从13到49的连续偶数的个数是＋1＝18.248－15②从13到49能被3整除的正整数的个数是＋1＝12.349－13从13到49的正整数中除以3余1的个数是＋1＝13.3你能从中找到计算规律吗？三.连续正整数的和1

3、(+n)n1＋2＋3＋……＋n＝（n是正整数）.2(a+b)(b−a+)1从a到b的连续正整数的和=(a、b为正整数).2把它推广到计算连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的和，举例如下：231.11＋13＋15＋…＋55＝（11＋55）×＝759.255－11（∵从11到55有奇数＋1＝23个）.281152.11＋14＋17＋…＋53＝（11＋53）×＝480.253－11（∵从11到53正整数中除以3余2的数的个数共＋1＝15.）3四.由连续正整数连写的整数，各数位上的数字和1.123456789各数位上的数字和是（0＋9）＋

4、（1＋8）＋…＋（4＋5）＝9×5＝45.2.计算1234…99100各数位上的数字和可分组为：（0，99），（1，98），（2，97）……（48，51），（49，50）共有50个18，加上100中的1.∴各数位上的数字和是18×50＋1＝901.五.连续正整数的积从1开始的n个正整数的积1×2×3×…×n记作n！，读作n的阶乘.1.n个连续正整数的积能被n！整除.如：11×12×13能被1×2×3整除；97×98×99×100能被4！整除；……a（a+1）(a+2)…(a+n)(a、n是正整数)能被（n+1）！整除.2.n！含某质

5、因数的个数.举例如下：①1×2×3×…×10的积中含质因数2的个数共8个.其中2，4，6，8，10都含质因数2暂各计1个，共5个；2其中4＝2含两个质因数2增加了1个；3其中8＝2含三个质因数2再增加2个.②1×2×3×…×130的积中含质因数5的个数的计算法：其中5，10，15，…125，130均含质因数5暂各计1个，共26个；2其中25，50，75，100均含5有两个5各加1个，共4个；3其中125＝5含三个5再增加2个.∴积中含质因数5的个数是32.乙例题例1.写出和等于100的连续正整数.解：∵100＝2×50＝4×25＝5

6、×20＝10×10.其中2个50与10个10都不能写成连续正整数；而4个25可写成：12＋13，11＋14，10＋15，9＋16，得第一组连续正整数9，10，11，12，13，14，15，16；5个20可写成：20，19＋21，18＋22，得第二组连续正整数18，19，20，21，22.例2.一本书共1990页用0到9十个数码给每一页编号，共要多少个数码？解：页数编码中，一位数1到9共9(个)；两位数10－99，共90个，用数码90×2＝180(个)；三位数100－999，共900个，用数码900×3＝2700(个)；四位数1000

7、－1990，共991个，用数码991×4＝3964(个).∴共用数码9＋180＋2700＋3964＝6853(个).82例3.在用连续正整数从1到100这100个数字顺次连接成的正整数：1234……99100中，问：①它是一个几位数？②它的各位上的数字和是多少？③如果从这个数中划去100个数字，使剩下的数尽可能地大，那么剩下的数的前十位数是多少？解：①这个数的位数=9×1+90×2+3=192；②各位上的数字和=18×50+1=901(见第四点)；③要划去100个数，从最高位开始并留下所有的9，先划去：1到8，10到18，19中的1

8、，20到28，29中的2，…，50到56这里共有8＋19＋19＋19＋19＋14＝98个，再划去57，58中的两个5，∴剩下的数的前十位是9999978596.例4.有几个连续正整数的算术平方根的整数部分是11？解：∵121＝11，1