初中数学竞赛辅导资料24

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1、初中数学竞赛辅导资料24初中数学竞赛辅导资料24第二十四课图形分割与拼接的研究例1如图9-3，把正方形的边长分别二等分和四等分后，过分点作边的平行线对正方形进行分割，数一数图中大大小小的正方形共有多少个，如果把大正方形的边长n等分后，也如此分割，怎样推算正方形个数？解：面积是一个小方格的正方形是22=4个；面积是4个小方格的正方形是1个，共有12+22=5（个），面积是1个小方格的正形是42=16个；面积是4个小方格的正方形是32=9个；面积是9个小方格的正方形是22=4个；面积是16个小方格的正方表是12=1个，共有12+22+32+

2、42=30个，当在正方形的边长n等分后，共有12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）个。例2用平行于边的直线把边长为1的正方形分成9个相等的正方形，取出正中的一个，将余下的8个又各自分为9个相等的正方形，取出正中的一个，…，循此三次，问留下边长为的正方形有多少个，循此n次，留下边长为的正方形有多少个。解：通过画图，发现分割第一次，取出正中的一个（即正方形ABCD），余8个相等的正方形，其边长为；分割第二次，取出正中的一个正方形（有8个象A1B1C1D1那样的正方形），余82个相等的正方形，其边长为；分割第三次，取出正中的一个

3、正方形，余83个相等的正方形，其边长为…；分割第n次，取出正中的一个正方形，余8n个正方形，其边长为。例3把下图中的木板切成两块，然后拼成一个正方形。解：解由图9-5知，木板的面积为16个平方单位，所以要拼的正方形边长应为4个单位长，据此要求进行试切（这时应考虑到切开后的图形，是象阶梯形状，然后由两个阶梯互相咬合而成一个正方形），发现一种切法如图9-6，其中高度分别是2、3、1、2，宽度是正方形边长，与另一个阶梯咬合，即得所求正方形，现将切法和拼法如图9-7（在切法图中，沿虚线切开，在拼法图中，沿虚线拼接）。例4请你将图中的长方形切成两

4、块，拼成一个正方形。提示：先算出所求正方形的边长，再考虑切法。例5如图9-9中图1是由64个大小相同的小正方形组成，要把它剪成形状、大小都相同的4块，然后拼成一个大正方形，该怎样剪法？解：经计算，拼成的大正方形边长是8，而原图中小的正方形总是两格并排出现，故可考虑2+6=8，2×4=8，沿图1中AB、CD、EF剪开成4块形如图2的图形，然后再按图3拼即可。练习1、如图，这个矩形中有多少个正方形，找出计算这个图形中的正方形个数和的规律？2、两条相交直线把平面人成几块？5条直线，其中任意两条不平行，任意三条不交于一点，试问它们能把平面分成互

5、不重迭的几块？10条这样的直线呢？3、把图中的木板切成两块，拼成一个正方形。4、数一数图中有多少个个等边三角形。第2页共2页初中数学竞赛辅导资料245、（第十届缙云杯初中数学邀请赛试题）如图是一个由25个小正方形所组成，请将此图剪一刀（可折迭后再剪）后拼成一个正方形，并使面积保持不变。6、把图中所示图形分成两部分，并由它们拼成一个正方形。答案与提示1、略解。2、通过画图试验，用归纳法得：2条直线分平面4块；5条符合规定的直线分平面成16块；10条这样的直线分平面成56块，n条这样的直线分平面成[+1]块3、切、拼如图所示：4、用分类拓排

6、序的思想考虑：（1）顶点向上的等边三角形，边长是1/4的有1+2+3+4=10个；边长是2/4的有+2+3=6个；边长是3/4的有1+2=3个；边长是1的有1个，总共有10+6+3+1=20个。（2）顶点向下的等边三角形：边长是1/4的有1+2+3=6个；边长是2/4的有1个，共有6+1=7个，所以，总数为27个等边三角形。5、如图，先将图形翻折，使CE与CA重合，然后将翻折后的图形沿A（E）C线剪下，把ΔABC拼在ΔA1B1C1的位置，把ΔCDE拼在ΔC1D1E1的位置，正方形ACEC1即为所求。6、切、拼如图所示：第2页共2页