工程数学复习-概率统计

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1、集合常用公式事件的关系、运算和运算法则可概括为四种关系：包含、相等、对立、互不相容；四种运算：和、积、差、逆；四个运算法则：交换律、结合律、分配律、对偶律。例1:袋中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8的八张卡片中任取一张，设事件Ａ为“抽得一张标号不大于４的卡片”，事件Ｂ为“抽得一张标号为偶数的卡片”，事件Ｃ为“抽得一张标号为奇数的卡片”。请用样本点的集合表示下列事件:Ａ∪Ｂ,ＡＢ,Ａ-Ｂ,Ｂ-Ａ,Ｂ∪Ｃ,(Ａ∪Ｂ)Ｃ解:将Ａ,Ｂ,Ｃ表示集合形式为Ａ＝｛１,２,３,４｝,Ｂ＝｛２,４,６,８｝,Ｃ＝｛１,３,５,７｝所以Ａ

2、∪Ｂ＝｛１,２,３,４,６,８｝(Ａ∪Ｂ)Ｃ＝｛１,３｝ＡＢ＝｛２,４｝;Ａ-Ｂ＝｛１,３｝Ｂ-Ａ＝｛６,８｝Ｂ∪Ｃ＝｛１,２,３,４,５,６,７,８｝例2:A,B,C,D四个事件，用运算关系表示：（1）A,B,C,D至少有一个发生；（2）都不发生；（3）都发生；（4）A,B,C,D恰有一个发生；（5）至多一个发生。解:（1）A∪B∪C∪D或（2）或（3）ABCD或（4）（5）古典概率若A为试验E的一事件，试验E的样本空间为，且A含有k个样本点．则事件A的概率就是二、古典概率例2:取球问题一袋中共有10个球

3、，6白，4红，采用摸后“放回”“不放回”两种方式任取出3个球，试求两种方式下这3个球中1)全为白球;2)恰含1个白2个红的概率。将古典概率的方法引申一下，便得到确定概率的“几何方法”。满足下列条件的试验，称为“几何概型”：(1)样本空间是直线或二维、三维空间中的度量有限的区间或区域；(2)样本点在其上是均匀分布的。定义：在几何概型中，若样本空间Ω所对应区域的度量为L(Ω),且事件A的度量为L(A)，则A的概率为这里L（·），可代表图形的长度，面积或体积等。三、几何概型例4:在[0，2]区间内任取两个数x和y，问“x+y>1的概

4、率为多少？解:由题意知0≤x≤2，0≤y≤2，设x+y>1为事件A，样本空间和事件A分别可表示为：={（x,y）

5、0≤x≤2,0≤y≤2}A={(x,y)

6、x+y>1,(x,y)∈}P(A)=红色区域面积/正方形面积=3.5/4=0.875yx22x+y=10四.概率的性质（1）P()=0,P()=1,(3)（4）若AB，则P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)≥P(A).(2)（5）P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB).例6:设P(A)=1/3,P(B)=1/2,(1)若事件A，B互不相容，求P(B

7、A);(2)若A真包含于B，求P(BA);(3)若P(AB)=1/8,求P(BA)。解:（1）若A,B互不相容，则P(BA)=P(B)=1/2;(2)若A真包含于B，则因为BA=B-A,从而P(BA)=P(B-A)=P(B)-P(A)=1/2-1/3=1/6;(3)利用BA=B-A=B-AB,得：P(BA)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=1/2-1/8=3/8.1．定义:设A，B是某一试验的两事件，且P(B)>0，称为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率.一、条件概率1.乘法公式由条件概率定义，

8、若P(B)>0，则P(AB)=P(A

9、B)P(B)若P(A)>0,则P(AB)=P(B

10、A)P(A)上述公式可推广到任意有限多个事件时的情形，例如，设A，B，C为事件，且P(AB)>0，则P(ABC)=P(A)P(B

11、A)P(C

12、AB)这里，注意到由假设P(AB)>0可推得P(A)≥P(AB)>0.一般，设A1,A2,…,An为n个事件，n≥2,且P(A1A2…An-1)>0，则有:P(A1A2…An)=P(A1)•P(A2

13、A1)…•P(An-1

14、A1A2…An-2)•P(An

15、A1A2…An-1)二、关于条件概率的三个公

16、式例1.盒中5个白球，2个黑球，连续不放回地取3次球，求第三次才取得黑球的概率。解：设Ai表示第i次取到黑球设试验E的样本空间为，A为E的事件，B1，B2，…Bn为的一个划分，且P(Bi)>0(i=1,2，…，n)则P(A)=P(A

17、B1)P(B1)+P(A

18、B2)P(B2)+…+P(A

19、Bn)P(Bn)称为全概率公式。2.全概率公式定理：设试验E的样本空间为,A为E的事件，B1，B2，…，Bn为的一个划分，且P（A）>0，P（Bi）>0（i=1，2，…，n），则i=1，2，…，n.称为贝叶斯（Bayes）公式。3.贝

20、叶斯公式例4:某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据。元件制造厂次品率及提供晶体管的份额10.020.1520.010.8030.030.05设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志（1）在仓库中随机地取一只晶体管求