七年级数学培优竞赛讲座第6讲_计算——工具与算法的变迁

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1、第六讲计算——工具与算法的变迁研究数学、学习数学总离不开计算，随着时代的变迁，计算工具在不断地改变，从中国古老的算盘、纸笔运算发展到利用计算器、计算机运算．初中代数中运算贯穿于始终，运算能力是运算技能与逻辑能力的结合，它体现在对算理算律的理解与使用，综合运算的能力及选择简捷合理的运算路径上，这要求我们要善于观察问题的结构特点，灵活选用算法和技巧，有理数的计算常用的方法与技巧有：1．巧用运算律；2．用字母代数；3．分解相约；4．裂项相消；5．利用公式等．【例1】现有四个有理数3，4，一6，l0，将这4个数(每个数用且只用一次)进行加、减、乘、除四则运算，使其结果等于24，其三种本质不同的运算

2、式有：(1)；(2)；(3)．(浙江省杭州市中考题)思路点拨从24最简单的不同表达式人手，逆推，拼凑．注：今天，计算机泛应用于社会生活各个方面，计算机技术在数学上的应用，不但使许多繁难计算变得简单程序化，而且还日益改变着我们的观念与思维．著名的计算机专家沃斯说过：“程序=算法十数据结构”．有理数的计算与算术的计算有很大的不同，主要体现在：(1)有理数的计算每一步要确定符号；（2）有理数计算常常是符号演算；(3)运算的观念得以改变，如两个有理数相加，其和不一定大于任一加数；两个有理数相减，其差不一定小于被减数．【例2】如果4个不同的正整数满足，那么，等于()．A．10B．2lC．24D．26

3、E．28(新加坡数学竞赛题)思路点拨解题的关键是把4表示成4个不同整数的形式．【例3】计算：(1)；(“祖冲之杯”邀请赛试题)(2)19492—19502+19512—19522+…+19972—19982+19992(北京市竞赛题)(3)5+52+53+…十52002．思路点拨对于(1)，首先计算每个分母值，则易掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形人手；(2)式使人易联想到平方差公式，对于(3)，由于相邻的后一项与前一项的比都是5，可从用字母表示和式着手．【例4】(1)若按奇偶分类，则22004+32004+72004+92004是数；(2)设，，，则的大小关系是(用“>”号连接)；(3

4、)求证：32002+42002是5的倍数．思路点拨乘方运算是一种特殊的乘法运算，解与乘方运算相关问题常用到以下知识：①乘方意义；②乘方法则；③；④与的奇偶性相同；⑤在中(，r为非负整数，，0≤r<4)，当r=0时，的个位数字与n4的个位数字相同；当时，?的个位数字与的个位数字相同．6注：在求和中错位相减、倒序相加是计算中常用的技巧．【例5】有人编了一个程序：从1开始，交替地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法），每次加法，将上次运算结果加2或加3；每次乘法，将上次运算结果乘2或乘3，例如，30可以这样得到：（1）证明：可以得到22；（2）证明；可以得到．学力训练1．（1）计算：21

5、1×（-455）+365×455-211×545+545×365+；（2）若，，，则的大小关系是（用“＜”号连接）2．计算：（1）；（2）=；（3）=；（4）．3．在下式的每个方框内各填入一个四则运算符号（不再添加括号），使得等式成立：63212=244．1999加上它的得到一个数，再加上所得的数的又得到一个数，再加上这次得数的又得到一个数，……，依次类推，一直加到上一次得数的，那么最后得到的数是．5．根据图所示的程序计算，若输入的x值为，则输出的结果为（）．A．B．C．D．(北京市海淀区中考题)6．已知，，，则abc=（）．A．一1B．3C．一3D．1(“希望杯”邀请赛试题)7．如果有理

6、数满足关系a

7、，…的第4项是；(2)如果一列数是等比数列，且公比为，那么根据上述的规定，有，，，…，所以，，，…，=(用与的代数式表示)．(3)一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项．(广西省中考题)10．(1)已知都不等于零，且的最大值是，最小值为n，求的值．(2)求证：5353一3333是10的倍数．11．计算（1）；（2）=；（3）=；（4）=12．（1）所得积的末位数字是；(江苏省竞赛题)(2)若l3+