数学竞赛专题讲座七年级第5讲-计算—工具与算法的变迁.doc

《数学竞赛专题讲座七年级第5讲-计算—工具与算法的变迁.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、第五讲计算——工具与算法的变迁研究数学、学习数学总离不开计算，随着时代的变迁，计算工具在不断地改变，从中国古老的算盘、纸笔运算发展到利用计算器、计算机运算．初中代数中运算贯穿于始终，运算能力是运算技能与逻辑能力的结合，它体现在对算理算律的理解与使用，综合运算的能力及选择简捷合理的运算路径上，这要求我们要善于观察问题的结构特点，灵活选用算法和技巧，有理数的计算常用的方法与技巧有：1．巧用运算律；2．用字母代数；3．分解相约；4．裂项相消；5．利用公式；6．加强估算等．“当今科学活动可以分成理论、实验和计算三大类，科学计算已经与理论研究、科学实验一起，成为第三种科学方法．——威尔逊注：

2、威尔逊，著名计算物理学家，20世纪80年代诺贝尔奖获得者．【例1】现有四个有理数3，4，，l0，将这4个数(每个数用且只用一次)进行加、减、乘、除四则运算，使其结果等于24，其三种本质不同的运算式有：(1)；(2)；(3)．(浙江省杭州市中考题)思路点拨从24最简单的不同表达式人手，逆推，拼凑．链接：今天，计算机泛应用于社会生活各个方面，计算机技术在数学上的应用，不但使许多繁难计算变得简单程序化，而且还日益改变着我们的观念与思维．著名的计算机专家沃斯说过：“程序=算法十数据结构”．有理数的计算与算术的计算有很大的不同，主要体现在：(1)有理数的计算每一步要确定符号；（2）有理数计算

3、常常是符号演算；(3)运算的观念得以改变，如两个有理数相加，其和不一定大于任一加数；两个有理数相减，其差不一定小于被减数．程序框图是一种用规定、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形，能清晰地展现算法的逻辑结构，常见的逻辑结构有：顺序结构、条件结构和循环结构．【例2】如果4个不同的正整数满足，那么，等于()．A．10B．2lC．24D．26E．28(新加坡数学竞赛题)思路点拨解题的关键是把4表示成4个不同整数的形式．【例3】计算：(1)；(“祖冲之杯”邀请赛试题)(2)19492—19502+19512—19522+…+19972—19982+19992(北京市竞赛题)(3)

4、5+52+53+…十52002．思路点拨对于(1)，首先计算每个分母值，则易掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形人手；(2)式使人易联想到平方差公式，对于(3)，由于相邻的后一项与前一项的比都是5，可从用字母表示和式着手．链接：裂项常用到以下关系式：（1）；（2）；（3）．运用某些公式，能使计算获得巧解，常用的公式有：（1）；（2）．错位相减、倒序相加也是计算中常用的技巧．【例4】(1)若按奇偶分类，则22004+32004+72004+92004是数；(2)设，，，则的大小关系是(用“>”号连接)；(3)求证：32002+42002是5的倍数．思路点拨乘方运算是一种特殊的乘法运算

5、，解与乘方运算相关问题常用到以下知识：①乘方意义；②乘方法则；③；④与的奇偶性相同；⑤在中(，r为非负整数，，0≤r<4)，当r=0时，的个位数字与n4的个位数字相同；当时，?的个位数字与的个位数字相同．【例5】有人编了一个程序：从1开始，交替地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法），每次加法，将上次运算结果加2或加3；每次乘法，将上次运算结果乘2或乘3，例如，30可以这样得到：（1）证明：可以得到22；（2）证明；可以得到．思路点拨（1）试值可以得到22，从计算中观察得数的规律性，为（2）做准备；（2）连续地运用同一种运算以获得高次，在进行适当的变换可以求解．【例6】（1

6、）已知、互为倒数，、互为相反数，且，那么的值为__________．(第19届江苏省竞赛题)（2）已知，则小于的最大整数是______．（第11届“华杯赛“试题）思路点拨对于（1）从倒数、相反数的概念入手；（2）通过对数式的分组，估算的值的范围．【例7】按下面的程序计算，若开始输入的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的的不同值最多有（）．A．2个B．3个C．4个D．5个（义乌市中考题）思路点拨看懂程序图，循环运算是解本题的关键．【例8】如图所示是一的幻方，当空格填上适当的数后，每行、每列及对角线上的和都是相等的，求的值．（两岸四地少年数学邀请赛试题）思路点拨为充分利用条件

7、，需增设字母，运用关系式求出的值．基础训练一、基础夯实1.(1)计算:211×(-455)+365×455-211×545+545×365=_________;(2)若a=-,b=-,c=-,则a、b、c的大小关系是___________(用“〈”号连接〉.2.计算:(1)0.7×1+2×(-15)+0.7×+×(-15)=________;(第15届江苏省竞赛题)(2)-=________.(第12届“希望杯”邀请赛试题)(3)++…+=________;(天津市竞