数学分析十讲习题册、课后习题答案解析

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1、习题1-11．计算下列极限（1）,解：原式===（2）；解：原式（3）解：原式（4），解：原式（5）解：原式=（6），为正整数；解：原式2．设在处二阶可导，计算.解：原式27/273．设，，存在，计算.解：习题1-21.求下列极限（1）;解：原式，其中在与之间（2）;解：原式===，其中在与之间（3）解：原式，其中在与之间（4）解：原式，其中其中在与之间2．设在处可导，，计算.解：原式习题1-31．求下列极限27/27（1）,解：原式（2）;解：（3）;解：原式（4）;解：原式2.求下列极限（1）;解：原式（2）;解：原式习题1-41．求下列极限（

2、1）；27/27解：原式（2）求；解：原式（3）；解：原式（4）；解：原式此题已换3．设在处可导，，.若在时是比高阶的无穷小，试确定的值.解：因为，所以从而解得：3．设在处二阶可导，用泰勒公式求解：原式4.设在处可导，且求和.解因为27/27所以,即所以习题1-51.计算下列极限(1);;解：原式(2)解：原式2．设，求(1)；解：原式(2)，解：由于，所以3．设，求和.解：因为，所以且从而有stolz定理，且所以，27/274．设，其中，并且，证明：.证明：因，所以，所以，用数学归纳法易证，。又，从而单调递减，由单调有界原理，存在，记在两边令，可

3、得所以习题1-61.设在内可导，且存在.证明:证明：2.设在上可微，和存在.证明:.证明：记（有限），（有限），则从而所以3.设在上可导，对任意的,，证明:.证明：因为，所以，由广义罗必达法则得27/274．设在上存在有界的导函数，证明:.证明：，有界，，所以习题2-1（此题已换）1.若自然数不是完全平方数，证明是无理数.1.证明是无理数证明：反证法.假若且互质，于是由可知,是的因子，从而得即,这与假设矛盾2.求下列数集的上、下确界.（1）解：（2）解：（3）解：（4）.解：3．设，验证.证明：由得是的一个下界.27/27另一方面，设也是的下界，由

4、有理数集在实数系中的稠密性，在区间中必有有理数，则且不是的下界.按下确界定义，.4．用定义证明上（下）确界的唯一性.证明：设为数集的上确界，即.按定义，有.若也是的上确界且.不妨设，则对有即矛盾.下确界的唯一性类似可证习题2-21．用区间套定理证明：有下界的数集必有下确界.证明：设是的一个下界，不是的下界，则.令，若是的下界，则取；若不是的下界，则取.令，若是的下界，则取；若不是的下界，则取；……，按此方式继续作下去，得一区间套，且满足：是的下界，不是的下界.由区间套定理，且.下证：都有，而，即是的下界.由于，从而当充分大以后，有.而不是的下界不是

5、的下界，即是最大下界27/272.设在上无界.证明：存在,使得在的任意邻域内无界.证明：由条件知，在上或上无界，记使在其上无界的区间为；再二等分，记使在其上无界的区间为，……，继续作下去，得一区间套，满足在上无界.根据区间套定理，，且.因为对任意的，存在，当时，有，从而可知在上无界3.设,在上满足,,若在上连续,在上单调递增.证明：存在,使.证明：记且二等分.若，则记若则记.类似地,对已取得的二等分,若，则记；若，则记按此方式继续下去，得一区间套，其中根据区间套定理可知，且有.因为在上连续，所以注意到可得，27/27再由可知，.习题2-31.证明下

6、列数列发散.(1),证因为，所以发散.(2),证明：因为所以发散.2．证明:单调数列收敛的充要条件是其存在一个收敛子列.证明：由收敛数列与子列的关系，结论显然不妨假设数列单调递增，且存在收敛子列，由极限定义对任意给定的，总存在正整数，当时，，从而有；由于，对任意，存在正整数，当时，，取，则任意时，所以，即3.设极限存在,证明：.证明：记由海茵定理，取，得取，得27/27取，得，解得（此题取消）4.数列收敛于的充要条件是：其偶数项子列和奇数项子列皆收敛于（此题改为4）5.已知有界数列发散，证明:存在两个子列和收敛于不同的极限.证明：因为有界，由致密性

7、定理，必有收敛的子列，设.又因为不收敛，所以存在，在以外，有的无穷多项，记这无穷多项所成的子列为，显然有界.由致密性定理，必有收敛子列，设，显然.习题2-51.用柯西收敛准则判定下列数列的收敛性(1)解：所以，对，即为柯西列(2).解：所以，对，即为柯西列2.满足下列条件的数列是不是柯西列?(1)对任意自然数,都有27/27解：不是柯西列，如，对任意的自然数，但数列不收敛。(2),解：所以，对，即为柯西列(3).证明：记，则单调递增有上界，从而必有极限，记对从而故是柯西列习题3-11.设定义在上的函数在内连续,且和存在(有限).问在上是否有界?是否

8、能取得最值?解：在闭区间上构造辅助函数则在上连续，从而在上有界.由于，故27/27在上也有界，即存在，使得.令，则有.条件