高斯求与(一)邓小琼.doc

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1、高斯求和（一）教学目标：（1）掌握等差数列的定义，了解等差数列首项，末项和公差。（2）能够运用等差数列的公式求解一般等差问题。教学过程：一、引入：世界上有一名著名的数学家叫高斯，他在很小的时候，老师给同学们出了一道数学题，让大家计算：1+2+3+4+5…+99+100=?高斯仔细观察后，很快就计算出了结果。你们能猜出他是怎么计算的吗？高斯解题过程：1+100=2+99=3+98=…=49+52=50+51=101，共有100÷2=50（个）。于是1+2+3+4+5…+99+100=（1+100）×100÷2=5050在这里，出现了一列数据。我们定义：按一定

2、次序排列的一串数叫做数列。一个数列，如果从第二项开始，每一项减去它紧前边的一项，所得的差都相等，就叫做等差数列。等差数列中的每一个数都叫做项，其中从左起第一项叫做首项，最后一项叫做末项，项的个数叫做项数。等差数列中相邻两项的差叫做公差。例如：上面高斯求解的问题：首项是1，末项是100，项数是100，公差是1.我们得出高斯求解方法更多的是告诉我们一个求解等差数列的公式：等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2二、专题讲解例一：找出下列算式当中的首项，末项，项数和公差。（1）2，5，8，11，14，17，20，23（2）0，4，8，12，16，20，24，28（

3、3）3，15，27，39，51，63让学生上黑板演示结果。（1）首项2，末项23，项数8，公差3（2）首项0，末项28，项数8，公差4（3）首项3，末项63，项数6，公差12知道在等差数列中如何准备找出首项，末项，项数及公差以后，更重要的是熟练运用等差数列求和公式解决一般等差数列问题。例二：1+2+3+4+…+1998+1999.问：算式当中的首项，末项，项数分别是什么？答：首项是1，末项是1999，项数是1999。解析：原式=（1+1999）×1999÷2=2000×1999÷2=1999000小结：这是一道一般等差数列类型题，可以直接找到求解公式中需要

4、的几个量。在计算过程中，当一个数乘另外一个数末尾有零时，先不看末尾的零，计算结束后，将零的相同个数添在积的末尾就行。练习：（1）1+2+3+4+…+250（2）1+2+3+4+…+200（3）1+3+5+7+…+97+99例三：求出所有两位数的和。问：（1）两位数是从哪个数开始，又是到哪个数为止？（2）两位数一共有多少个？解：原式=（10+99）×90÷2=109×90÷2=4905注意：解上面这道题需要我们动脑经的是先要准确的写出这个数列，找出数列的首项，末项和项数。在解题过程中会用到我们刚学过的三位数乘两位数的乘法，计算一定要小心。练习：（1）40+4

5、1+42+43+…+80+81（2）10+11+12+…+49+50例四：某单位的总务处主任，不小心把50把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，最多要试多少次？问：（1）“最多”应该怎么样理解？（2）能否试着把数列写出来？分析：这是一道解决实际问题的题，就要注意联系生活实际来思考。如开第一把锁时，试了49把钥匙都不对，那所剩下的一把肯定能打开，不用试50次，试49次就可以了。同样开第二把锁，最多试48次，依次类推，试完49把锁，剩下最后的一把不用试，一定能打开。这道题，开锁最多要试多少次，应该是一个，49+48+47+…+1+0的等差数列的和。它

6、的首项是49，末项是0，项数是50，公差是1。根据等差数列求和公式就可以求出最多要试多少次。解：49+48+47+…+1+0=（49+0）×50÷2=1225练习：（1）新年到了，10个好朋友聚会，每两个人之间要握一次手，他们一共要握多少次手？（2）市里举行数学竞赛，参加数学竞赛的有16个小组，每两组之间都要赛一场，他们一共要进行多少场比赛？难度上升题：（1）437-1-2-3-4…-29（2）2000-1-2-3-4…-60（3）（1+3+5+…+1997+1999）－（2+4+6+…+1996+1998）（4）盒子里放有1只球，一位魔术师第一次从盒子里

7、将这只球拿出，变成了3只球后放回盒子里，第二次从盒子里拿出2只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里，如此继续下去，最后第10次从盒子里拿出10只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里。这时盒子里共有多少只球？解：（1）原式=437-（1+29）×29÷2=2（2）原式=2000-（1+60）×60÷2=170（3）法一：原式=（1+1999）×1000÷2－（2+1998）×999÷2=1000000－999000=1000法二：原式=1+（3－2）+（5－4）+…＋（1999－1998）=1+1+1+…+1（共1000个）=1000（1）解析：找出盒子球的

8、变化规律，第一次增加2个球，第二次增加2×2个球，第三次增加2×3