2014届八年级全国数学竞赛赛前专项训练方程(含详解)

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1、初中数学竞赛专项训练（方　程）一、选择题：1、方程有两个整数根，试求整数a的值（　　）　A.-8B.8C.7D.92、方程的所有整数解的个数是（　　）　A.2B.3C.4D.53、若是一元二次方程的根，则判别式与平方式的大小关系是（　　）　A.△＞MB.△=MC.△＜MD.不能确定4、已知是一元二次方程的一个实数根，则ab的取值范围为（　　）　A.ab≥B.ab≤C.ab≥D.ab≤5、已知、是方程的两个实根，则的最大值是（　　）　A.19B.18C.D.以上答案都不对6、已知为三个非负实数，且满足，，则

2、u的最大值与最小值之和为（　　）　A.B.C.D.7、若m、n都是正实数，方程和方程都有实数根，则m+n的最小值是（　　）　A.4B.6C.8D.108、气象爱好者孔宗明同学在x（x为正整数）天中观察到：①有7个是雨天；②有5个下午是晴天；③有6个上午是晴天；④当下午下雨时上午是晴天。则x等于（　　）　A.7B.8C.9D.10二、填空题1、已知两个方程有且只有一个公共根，则这两个方程的根应是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2、若，则＿＿＿＿＿＿＿3、已知关于x的方程的两根为整数，则整数n是＿＿＿＿＿4、设、是方

3、程的两个实数根，且，则k的值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿5、已知a、b是方程的两个根，b、c是方程的两个根，则m＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿6、设、是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最大值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿三、解答题1、关于x的方程有有理根，求整数k的值。2、设方程的较大根是，方程的较小根是，求－的值。3、确定自然数n的值，使关于x的一元二次方程的两根均为质数，并求出此两根。4、已知关于x的一元二次方程的两个根均为整数，求所有满足条件的实数k的值。5、有编号为①、②、③、④的四条赛艇，其速度依次为每小时、、

4、、千米，且满足＞＞＞＞0，其中，为河流的水流速度（千米/小时），它们在河流中进行追逐赛规则如下：（1）四条艇在同一起跑线上，同时出发，①、②、③是逆流而上，④号艇顺流而下。（2）经过1小时，①、②、③同时掉头，追赶④号艇，谁先追上④号艇谁为冠军，问冠军为几号艇？参考答案一、选择题1、选B。原方程变为，解得x=9或7，a＝8。2、选C。原方程有整数解的条件有且只有以下3种：　　综上所述知方程的解共有1＋2＋1＝4个。4、应选B。因为方程有实数解，故。由题意有　5、选B。由方程有实根，得△≥0，即　6、选A。

5、　　由x≥0，y≥0得数学竞赛专项训练参考答案（1）－9　　即　7、选B。因方程有实根，故，因此有，则，得m最小值是4。又8、选C。设全天下雨a天，上午晴下午雨b天，上午雨下午晴c天，全天晴d天。由题可得关系式a=0①，b+d=6②，c+d=5③，a+b+c=7④，②＋③－④得2d-a=4，即d＝2，故b=4，c=3，于x＝a+b+c+d=9。二、填空题2、由已知a、b是方程的两根。，而3、的两根为整数，它的判别式为完全平方式，故可设　（k为非负整数），即满足上式的n、k只能是下列情况之一：　　解得n＝1

6、、5。4、解：由题意得：　又　数学竞赛专项训练参考答案（1）－9　由已知得　由①②得k＝1。5、解：由已知b2-4b+m=0①　b2-8b+5m=0②　　①－②得：4b-4m=0∴b＝m　③　　将③代入①得：m2-4m+m=0∴m=0或m=3。6、解：　　　∴对于任意实数a，原方程总有两个实数根。由根与系数的关系得：　　　　∴当a=时原式有最大值－三、解答题1、解：①当k=0时，x=-1，方程有有理根。　　　　②当k≠0时，因方程有有理根，所以若k是整数，则＝必为完全平方数，即存在非负整数m，使　　配方得

7、：　　由所以它们均为偶数，又，从而有　　∴k=6或k=0（舍去）　　综合①②可知，方程有有理根，整数k的值为k=0或k=6。2、解：由前一方程得：　　　　即　　　　设方程两根为、，且＞　　　　由根与系数的关系得：数学竞赛专项训练参考答案（1）－9　　　　则＝1，＝-　　　　同理由后一方程得：　　　　设方程两根为、，且＞，则＝1，＝　　　　由上述可知：r=1，s＝，　　　　所以r－s＝1－＝3、解：设方程两根为、，则+＝4n－5　　　　∵4n－5是奇数，即+是奇数　　　　∴与必定一奇一偶，而与都是质数。　　

8、　　故必有一个为2，不妨设＝2，则　　　　2×22－（8n－10）×2－(n2－35n＋76)＝0　　　　∴n=3或n=16　　　　当n=3时，原方程即2x2－14x＋20＝0，此时两根为x1＝2，x2＝5当n=16时，原方程即2x2－118x＋228＝0，此时两根为x1＝2，x2＝574、解：原方程可化为，因此方程关于x的一元二次方程，所以，，于是　　，　　从上面两式中消去k，得：　　于是　　因为、均为整数，所以　　故，显然