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1、版权所有,2000,2005(c)华中科技大学力学系华中科技大学力学系材料力学Copyright,2000,2005(c)Dept.Mech.,HUST,ChinaTel:027-87543837MechanicsofMaterials第四章梁的弯曲强度4.1平面弯曲梁的内力4.2平面弯曲梁的正应力4.3梁的弯曲切应力4.4梁的强度条件与合理设计4.5梁的弹塑性弯曲简介PPPaaaPPABCD纯弯曲横截面上弯矩为常量，而剪力为零。横力弯曲横截面上既有弯矩，又有剪力。研究对象平面弯曲、纯弯曲横力弯曲4.2弯曲正应力目的求弯曲变形时横截面上的正应力,为梁的强度
2、设计提供理论依据。方法(1)静力平衡;(2)几何变形关系;(3)物理关系(虎克定理)。AABBaabb一.对称截面梁纯弯曲变形的试验与假设（1）试验观察变形现象AA、BB仍保持直线，仍与变形后的纵向线正交，但相对地转过一角度aa缩短，bb伸长，且变为弧形。在纵线伸长区,梁的宽度减小,在纵线缩短区,梁的宽度增加。（2）梁弯曲变形的平面假设梁弯曲变形后，其横截面仍保持为一平面，并仍与变形后梁的轴线垂直，只是转了一个角度。4.2弯曲正应力aaPPABCD(3)单向受力假设设各纵向纤维之间互不挤压，每一根纵向纤维均处于单向拉伸、或压缩。（4）中性层、中性轴由连续性
3、假设，存在着一层既不伸长，也不缩短的纵向纤维层，称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。梁弯曲时，梁横截面绕各自中性轴旋转。4.2弯曲正应力根据平面假设和单向受力假设,纯弯曲时梁横截面上各点均无切应变,因此也就没有切应力。（1）由试验观察和假设可得到应变变化规律取微段dx为研究对象，取坐标系如图。dxyzO为曲率中心，为中心层的曲率半径，夹角为，考察任一纵向线的应变。变形前：变形后：应变：横截面上任一点处的线应变与该点到中心层的距离y成正比。oyo1o24.2弯曲正应力二.弯曲正应力(2)应力、应变关系基于：单向拉压假设；拉压材料弹性常数相等。则有问题
4、：中心轴位置？横截面上各点的正应力与该点到中心轴的距离y正比。ZYOyMMyzx4.2弯曲正应力yzyxzM(3)静力学关系4.2弯曲正应力自然满足ozydAyzc平面图形的几何性质1.静矩、形心静矩平面图形对z轴和y轴的静矩形心平面图形形心的坐标公式ozydAyzc讨论静矩是对坐标轴而言的，同一图形对不同的坐标轴有不同的静矩。因此静矩的数值可正、可负、或为零。2.若平面图形对某一轴的静矩为零，即若即该轴必通过图形的形心。反之，若某一轴通过形心，则图形对该轴的静矩为零平面图形的几何性质yozdAyzc2.惯性积称为平面图形对y、z的惯性积。讨论惯性积是对坐
5、标轴而言的，因此惯性积的数值可正、可负、或为零。若坐标轴y或z轴中有一个是图形的对称轴，则平面图形对这对轴的惯性积为零。oyzdAdAZZyy如图：z坐标是图形的对称轴，故图形的z坐标相同，而y坐标数值相同而符号相反，故惯性积IYZ为零。4.2弯曲正应力yzyxzM即横截面对中性轴Z的静矩为零。由平面图形的几何性质可知，只有Z轴通过截面形心时，才有SZ＝0，因此中性轴必通过横截面形心。分析讨论1.中性轴位置4.2弯曲正应力()a；0,0,0=Þ¹=×=ÞòòzZAASESEydAEdArrrsQ＝即要求横截面对y、z轴的惯性积为零。显然在平面弯曲的条件下此
6、条件自然满足。注意到y轴是横截面的对称轴，且z轴通过形心，这一对轴称之为形心主轴。2.平面弯曲条件此即保证梁为平面弯曲的条件。4.2弯曲正应力3.曲率确定称为平面图形对z轴的惯性矩。中性层曲率，也即梁弯曲变形的基本公式。4.2弯曲正应力称之为梁的抗弯刚度。zEIzEI¯.,1,rrQ4.弯曲正应力梁横截面上任一点处的弯曲正应力计算公式。式中：M：横截面上弯矩；y：横截面上所求一点至中性轴的距离；IZ：横截面对中性轴Z的惯性矩。符号判断：以中性轴为界，靠凸边一侧受拉，靠凹边一侧受压。ZYOyMM4.2弯曲正应力5.梁截面上最大正应力梁截面上最大正应力发生于
7、离中性轴最远处，即称为抗弯截面模量4.2弯曲正应力6.弯曲正应力公式的适用范围公式适用于横截面具有对称轴的任何截面形状的梁（载荷作用于该对称面内）。纵向对称面4.2弯曲正应力2.在横力弯曲时，梁横截面上既有正应力，又有切应力作用。此时梁的平面假设和单向拉压假设均不再成立，但当梁跨长与截面高度之比l／h＞5时（工程实际中的梁远大于5），切应力的存在对梁的正应力的分布影响极微，可忽略，因此可以足够精确地推广应用到横力弯曲（剪切弯曲）情况。3.公式适合于直梁，但可近似地用于小曲率（）梁。4.非对称截面梁弯曲中心开口薄壁杆件。5.，即公式仅适用于弹性范围。4.2弯
8、曲正应力惯性矩的计算简单截面的惯性矩hozybydy矩形截面同理：
