高中数学 3_6 直线与平面、平面与平面所成的角同步精练 湘教版选修2-11(1)

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1、高中数学3.6直线与平面、平面与平面所成的角同步精练湘教版选修2-11在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是(　　)．A．30°B．45°C．60°D．90°2如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)．A．B．C．D．3△ABC的边BC在平面α内，顶点Aα，△ABC的边BC上的高与平面α所成的角为θ，△ABC的面积为S，则△ABC在平面α上的射影的面积为(

2、　　)．A．ScosθB．SsinθC．StanθD．Scotθ4已知平面α的法向量为n1＝(1，－2，－2)，平面β的法向量为n2＝(2,2,1)，则平面α与平面β所成角的余弦值为(　　)．A．B．C．D．5在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，AA1＝2，则直线A1B与平面BB1C1C所成角的正弦值为(　　)．A．B．C．D．6已知AB为平面α内的一条线段，它的长为a，AC和BD都是长为b的两条线段，且AC⊥α，BD⊥AB，BD与平面α成30°角，则CD的长为__________．7若分别与

3、一个二面角的两个面平行的向量为m＝(－1,2,0)，n＝(3,0，－2)，且m，n都与二面角的棱垂直，则该二面角的余弦值为__________．8如图，过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，设PA＝AB＝a，则平面PAB和平面PCD所成二面角的大小为__________．4参考答案1.解析：取BC的中点E，则AE⊥面BB1C1C，∴AE⊥DE，因此AD与平面BB1C1C所成角即为∠ADE，设AB＝a，则AE＝a，DE＝，即有tan∠ADE＝，∴∠ADE＝60°.答案：C2.解析：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标

4、系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，C1(0,2,1)．∴＝(－2,0,1)，＝(－2,2,0)．易知是平面BB1D1D的法向量．设BC1与平面BB1D1D所成的角为θ，则sinθ＝＝＝.答案：D3.解析：过A作AH⊥α于H，AD⊥BC，连结DH，如图，则∠ADH＝θ，△ABC在平面α上的射影为△HBC．∴S△HBC＝BC·DH＝BC·ADcosθ＝S·cosθ.答案：A4.解析：设平面α与平面β所成的角为θ，4则cosθ＝＝＝.答案：B5.解析：如图建立直角坐标系，则A1(0,1,2)，B(1,0,

5、0)，A(0,1,0)．∴＝(1，－1，－2)，＝(0,1,0)．由题意易知是平面BB1C1C的法向量，设A1B与平面BB1C1C所成的角为θ，则.答案：A6.解析：如图，当C，D在平面α的同侧时，∵，∴＝b2+a2+b2+2

6、

7、

8、

9、cos〈，〉＝2b2+a2+2b2cos120°4＝a2+b2.∴CD的长为.当C，D在平面α的异侧，即D在D′点时，则＝2b2+a2+2b2cos60°＝a2+3b2，∴CD′的长为，即CD的长为.综上，CD的长为或.答案：或7.解析：cos〈m，n〉＝＝＝，故该二面角的余弦值为－或.答案：－

10、或8.解析：如图，过P作PQ∥AB，则PQ⊂平面PAB．∵AB∥CD，∴PQ∥CD，PQ⊂平面PCD．∴平面PAB∩平面PCD＝PQ.∵PA⊥AB，AB∥PQ，∴PA⊥PQ.又PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥DP.∵PQ∥CD，∴PQ⊥PD．∴∠APD是平面PAB和平面PCD所成的二面角的平面角．∵PA＝AB＝AD，∴∠APD＝45°，即平面PAB和平面PCD所成的二面角为45°.答案：45°4