欧几里得《原本》

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1、欧几里得的《原本》从希波克拉底到欧几里得，其间经历了150年。在这150年间，希腊文明发展并臻于成熟，因柏拉图、亚里士多德、阿里斯托芬和修昔底德的著作而光大。甚至在伯罗奔尼撒战争的动乱中和在亚历山大大帝统治的希腊帝国全盛时期，希腊文明都在发展。到公元前300年时，希腊文化的发展已跨越地中海，并扩展到更遥远的世界。在西方，希腊统治至高无上。在从公元前440年到公元前300年期间，许多伟人都曾为数学的发展作出过不朽的贡献，其中有柏拉图（公元前427—347年）和欧多克索斯（公元前约408—355＿年），虽然只有后者才是真正的数学家。柏拉图，雅典的伟

2、大哲学家。我们之所以提到他，主要不是因为他对数学的创造，而是因为他对数学的热情和高度评价。柏拉图年轻时在雅典师从苏格拉底，我们对他那位值得尊敬的老师的了解，主要也由此而来。柏拉图曾漫游世界多年，认识了许多伟大的思想家，并形成了他自己的哲学思想体系。公元前387年，他返回他的出生地雅典，并在那里建立起学园。学园聚集了不少饱学之士来此献身于学习和研究。在柏拉图的引导下．希腊学园成为那个时代～流的思想中心。在学园众多的学科中，没有一个学科能比数学更受重视。数学的美感和条理与秩序吸引了柏拉图，代表了他心目中未受单调日常生存需求污染的理想的抽象世界。柏拉

3、图认为，数学是锻炼思维的最佳途径，其严密的逻辑推理要求人们极度专注、机敏和谨慎。据说，穿过拱形门楼，进入这一久负盛名的学园，首先映入眼帘的是一行大字：“不懂几何的男子请勿入内’”。尽管这一警句带有明显的性别歧视．但却反映．一种观点，即只有那些首先证明自己在数学上成熟的人才有能力面对学园的智力挑战。可以说，柏拉图把几何学看作理想的入学要求，看作～伸当时那个时代的学术能力测验。虽然现在人们很少把当初的数学发现归于柏拉图的名下，但希腊学园的确培养了许多颇有才华的数学家、其中一个无可争辩的伟大数学家就是尼多斯的欧多克索斯。欧多克索斯在学园创建初期就来到

4、雅典，并直接聆听过柏拉图的演讲。欧多克索斯的贫困迫使他不得不居住在雅典的郊区比雷埃夫斯，每R往返于学园和比雷埃夫斯之间，成为最早的通勤者（虽然我们不能确切知道，他是否需要支付远郊车费）、在他后来的生涯中，他曾到过埃及，后来又返回他的出生地尼多斯。在这期间，他注意吸收新的科学发现，并不断扩充科学的疆界。欧多克索斯对天文学尤其感兴趣，他对月球和行星的运动做出了深入的解释，在16世纪哥白尼革命之前，其学说颇有影响。他从不接受对自然现象的天命的或神秘的解释，相反，他主张对自然现象进行观察，并作出理性的分析。因此，托马斯·希思爵士曾称道说：“如果当时有科

5、学家的活，他称得起是其中一个。4据认为，欧多克索斯对数学作出了两大贡献，其～是比例论，其二是穷竭法。毕达哥拉斯派曾因发现不可通约量而陷入绝境，而欧多克索斯的比例论则对走出这种绝境提供了逻辑依据。毕达哥拉斯派的绝境在有关相似三角形的几何定理中尤为明显，这些定理最初是根据一种假设论证的，即任何两个量都是可公度的。当这一假设被推翻后，几何学中一些最重要的定理也随之瓦解。这就是人们有时所谓的希腊几何的“逻辑耻辱”。也即，人们虽然相信这些定理是正确的。但他们却拿不出有力的证据来支持他们的观点。正是欧多克索斯发明的比例论为人们提供了这一长期寻觅的证据。他的

6、理论自然使希腊数学界人士如释重负。我们如今可以在欧几里得的《原本》》第五篇中找到欧多克索斯的理论。欧多克索斯的另一个伟大贡献，即穷竭法。可以直接应用于确定更加复杂几何图形的面积和体积。他所采用的一般方法是，用一系列已知的基本图形不断逼近不规则图形，而每一次逼近都比前一次更加近似于原图形。例如，我们可以认为，圆形是包含在一曲线里的图形，因而也是一种非常难于解出的平面图形。但是，如果我们在圆内作一个内接正方形，然后再把正方形的每条边～分为二，使之成为八边形，再把八边形的每条边平分，使之成为16边形，等等，依次进行，我们就可以得到一个非常近似于圆形面

7、积的比较简单的多边形。用欧多克索斯的话说，这个多边形从内部“穷竭”了圆。实际上，这个过程就是阿基米德确定圆面积的过程，我们将在第四章看到。阿基米德不仅将这一基本逻辑理论归功于欧多克索斯，而且还认为他用穷竭法证明了“任何锥体的体积都等于与之同底同高柱体体积的三分之一”，这决不是一个无足轻重的定理。熟悉高等数学的读者都会承认，穷竭法是现代“极限”概念的几何先驱,同时也是微积分的中心。欧多克索斯的贡献意义十分深远，人们一般认为他是仅次于最伟大的数学家阿基米德本人的古希腊卓越数学家。公元前四世纪的最后30年，马其顿国王亚历山大大帝即位，并出发征服世界、

8、公元前332年，亚历山大大帝征服埃及，随之在尼罗河口建亚历山大城。这座城市发展极为迅速，据说在其后30年间，人口已达50万。而更为重要的是，在这座城市